Номер 7.43, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.43. Постройте схематический график четной функции $y = f(x)$, которая имеет минимум в точке $x_1 = 2$ и максимум в точке $x_2 = 4$. Найдите число точек экстремумов этой функции.

Постройте схематический график четной функции y = f(x), которая имеет минимум в точке x₁ = 2 и максимум в точке x₂ = 4.

По определению, четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Важным свойством экстремумов четной функции является то, что если в точке $x_0 \neq 0$ функция имеет минимум или максимум, то в симметричной точке $-x_0$ она также будет иметь экстремум того же типа (минимум или максимум соответственно), причем значения функции в этих точках будут равны: $f(x_0) = f(-x_0)$.

Из условия задачи нам известно, что:

1. Функция имеет минимум в точке $x_1 = 2$. Из-за свойства четности следует, что она также должна иметь минимум в точке $x = -2$.

2. Функция имеет максимум в точке $x_2 = 4$. Следовательно, она также должна иметь максимум в точке $x = -4$.

Рассмотрим поведение функции на промежутке $(-2, 2)$. Поскольку в точках $x = -2$ и $x = 2$ находятся локальные минимумы, а график функции предполагается непрерывным, то между этими двумя минимумами должен находиться локальный максимум. В силу симметрии этот максимум должен достигаться на оси $Oy$, то есть в точке $x = 0$.

Таким образом, для построения схематического графика нужно изобразить кривую, которая:

- Симметрична относительно оси $Oy$.

- Имеет минимумы (впадины) в точках $x = -2$ и $x = 2$.

- Имеет максимумы (пики) в точках $x = -4$, $x = 0$ и $x = 4$.

Ниже представлен пример схематического графика, удовлетворяющего всем условиям.

Ответ: Схематический график представлен на рисунке выше. Он является четным, симметричным относительно оси $Oy$, и имеет минимумы в точках $x=\pm2$ и максимумы в точках $x=\pm4$ и $x=0$.

Найдите число точек экстремумов этой функции.

Точки экстремума — это точки, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Проанализируем все точки экстремума данной функции.

1. По условию, в точке $x = 2$ находится минимум.

2. По условию, в точке $x = 4$ находится максимум.

3. Так как функция является четной ($f(-x) = f(x)$), ее график симметричен относительно оси $Oy$. Из этого следует, что если $x_0$ является точкой экстремума, то и $-x_0$ также является точкой экстремума того же типа (при $x_0 \neq 0$). Поэтому у функции также есть минимум в точке $x = -2$.

4. По той же причине у функции есть максимум в точке $x = -4$.

5. Как было показано в первой части, для непрерывной четной функции, имеющей минимумы в симметричных точках $-2$ и $2$, между ними обязательно должен быть экстремум в точке $x=0$. Это будет локальный максимум.

Таким образом, мы нашли все точки экстремума. Перечислим их абсциссы: $-4$ (максимум), $-2$ (минимум), $0$ (максимум), $2$ (минимум), $4$ (максимум).

Подсчитав общее количество таких точек, получаем 5.

Ответ: 5.