Номер 7.47, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.47. Найдите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих неравен-ству $\frac{20 + x - x^2}{-40 + 13x - x^2} \le 0$.

Для решения данного дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.

Исходное неравенство:$ \frac{20 + x - x^2}{-40 + 13x - x^2} \le 0 $

1. Найдем нули числителя.$ 20 + x - x^2 = 0 $Умножим на -1 для удобства:$ x^2 - x - 20 = 0 $По теореме Виета, корни уравнения:$ x_1 = 5 $$ x_2 = -4 $Таким образом, числитель можно разложить на множители: $-(x-5)(x+4)$.

2. Найдем нули знаменателя. Эти значения $x$ не будут входить в область допустимых значений (ОДЗ).$ -40 + 13x - x^2 = 0 $Умножим на -1:$ x^2 - 13x + 40 = 0 $По теореме Виета, корни уравнения:$ x_3 = 5 $$ x_4 = 8 $Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $-(x-5)(x-8)$.ОДЗ: $ x \neq 5 $ и $ x \neq 8 $.

3. Перепишем неравенство в разложенном на множители виде:$ \frac{-(x-5)(x+4)}{-(x-5)(x-8)} \le 0 $

Сократим отрицательные знаки и общий множитель $(x-5)$, не забывая про ОДЗ ($x \neq 5$):$ \frac{x+4}{x-8} \le 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов.На числовой оси отметим нули числителя и знаменателя. Ноль числителя $x=-4$ будет закрашенной точкой (так как неравенство нестрогое), а ноль знаменателя $x=8$ — выколотой точкой (так как на ноль делить нельзя).

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 8)$ и $(8; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x+4}{x-8}$ в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -4]$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{-5-8} = \frac{-1}{-13} > 0$. Знак "+".
• При $x \in [-4; 8)$ (например, $x=0$): $\frac{0+4}{0-8} = \frac{4}{-8} < 0$. Знак "−".
• При $x \in (8; +\infty)$ (например, $x=9$): $\frac{9+4}{9-8} = \frac{13}{1} > 0$. Знак "+".

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $x \in [-4; 8)$.

5. Учтем ОДЗ, согласно которому $x \neq 5$. Исключим это значение из полученного интервала.Итоговое решение неравенства: $x \in [-4; 5) \cup (5; 8)$.

6. Найдем все целые числа, удовлетворяющие этому решению:-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7.

7. Вычислим сумму этих целых чисел:$ S = (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 $Сумма чисел от -4 до 4 равна 0.$ S = 0 + 6 + 7 = 13 $

Ответ: 13