Номер 7.49, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.49. Найдите множество значений функции:

1) $y = 2x^2 - 4|x|;$

2) $y = x^2 - 3|x|;$

3) $y = 2x^2 - |x| + 2.$

1) Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 4|x|$.

Так как $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать функцию как $y = 2|x|^2 - 4|x|$.

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - 4|-x| = 2x^2 - 4|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Чтобы найти множество значений, введем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, то $t \ge 0$.

Получаем новую функцию $y(t) = 2t^2 - 4t$, которую нужно исследовать на множестве $t \in [0, +\infty)$. Множество значений исходной функции $y(x)$ совпадает с множеством значений функции $y(t)$, так как область значений $|x|$ для $x \in (-\infty, +\infty)$ есть $[0, +\infty)$.

Графиком функции $y(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $t^2$ положителен ($a=2 > 0$).

Наименьшее значение такая парабола принимает в своей вершине. Найдем координаты вершины.

Абсцисса вершины параболы $y = at^2+bt+c$ находится по формуле $t_0 = -b / (2a)$.

В нашем случае $a=2$, $b=-4$.

$t_0 = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1$.

Так как $t_0 = 1$ принадлежит области определения $t \ge 0$, то наименьшее значение функции $y(t)$ достигается именно в этой точке.

Найдем это значение, подставив $t_0=1$ в функцию:

$y_{min} = y(1) = 2(1)^2 - 4(1) = 2 - 4 = -2$.

Поскольку ветви параболы уходят в бесконечность, а наименьшее значение равно -2, множество значений функции $y(t)$ на промежутке $t \ge 0$ есть $[-2, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [-2; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3|x|$.

Данная функция является четной. Используя свойство $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Функция примет вид $y(t) = t^2 - 3t$ при $t \ge 0$.

Графиком является парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем вершину параболы: $t_0 = -b / (2a) = -(-3) / (2 \cdot 1) = 3/2 = 1.5$.

Значение $t_0 = 1.5$ входит в область $t \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине.

$y_{min} = y(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$.

В виде обыкновенной дроби: $y_{min} = (3/2)^2 - 3(3/2) = 9/4 - 9/2 = 9/4 - 18/4 = -9/4$.

Так как ветви параболы направлены вверх, множество значений функции — это луч, начинающийся с минимального значения.

Ответ: $E(y) = [-2.25; +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - |x| + 2$.

Функция четная. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получаем функцию $y(t) = 2t^2 - t + 2$ при $t \ge 0$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=2 > 0$).

Найдем абсциссу вершины: $t_0 = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot 2) = 1/4$.

Значение $t_0 = 1/4$ принадлежит области $t \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает в вершине.

Найдем это значение:

$y_{min} = y(1/4) = 2(1/4)^2 - (1/4) + 2 = 2(1/16) - 1/4 + 2 = 1/8 - 2/8 + 16/8 = 15/8$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, множество значений функции начинается с $y_{min}$ и уходит в бесконечность.

Ответ: $E(y) = [15/8; +\infty)$.