Номер 8.2, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.2. Постройте график функции:

1) $y = -\frac{2}{x-2}$;

2) $y = \frac{2}{x-3}$;

3) $y = -\frac{3}{x+2}$;

4) $y = \frac{0,5}{x+3}$.

1) $y = -\frac{2}{x-2}$

Для построения графика функции $y = -\frac{2}{x-2}$ определим его основные свойства. Данная функция является гиперболой. Её график можно получить из графика простейшей гиперболы $y' = -\frac{2}{x'}$ с помощью параллельного переноса. В данном случае, знаменатель $x-2$ указывает на сдвиг графика функции $y = -\frac{2}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Асимптотами графика являются прямые, к которым ветви гиперболы стремятся, но не пересекают. Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x-2=0$, то есть $x=2$. Горизонтальной асимптотой является ось абсцисс, так как при увеличении $x$ по модулю значение $y$ стремится к нулю. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y=0$.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек. Так как коэффициент $k=-2$ отрицательный, ветви гиперболы будут располагаться во второй и четвертой четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами. Выберем значения $x$ слева и справа от вертикальной асимптоты $x=2$.

Если $x=3$, то $y = -\frac{2}{3-2} = -2$. Точка $(3, -2)$.

Если $x=4$, то $y = -\frac{2}{4-2} = -1$. Точка $(4, -1)$.

Если $x=1$, то $y = -\frac{2}{1-2} = 2$. Точка $(1, 2)$.

Если $x=0$, то $y = -\frac{2}{0-2} = 1$. Точка $(0, 1)$.

Построение: на координатной плоскости проводим пунктирными линиями асимптоты $x=2$ и $y=0$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными кривыми, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(2, 0)$, вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(1, 2)$ и $(3, -2)$.

2) $y = \frac{2}{x-3}$

График функции $y = \frac{2}{x-3}$ — это гипербола. Его можно построить, сдвинув график функции $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

Найдем асимптоты графика. Вертикальная асимптота определяется из условия $x-3=0$, что дает $x=3$. Горизонтальная асимптота — $y=0$, поскольку при $|x| \to \infty$, $y \to 0$.

Коэффициент $k=2$ положительный, следовательно, ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, заданной асимптотами $x=3$ и $y=0$. Для построения графика найдем несколько точек.

При $x=4$, $y = \frac{2}{4-3} = 2$. Точка $(4, 2)$.

При $x=5$, $y = \frac{2}{5-3} = 1$. Точка $(5, 1)$.

При $x=2$, $y = \frac{2}{2-3} = -2$. Точка $(2, -2)$.

При $x=1$, $y = \frac{2}{1-3} = -1$. Точка $(1, -1)$.

Для построения графика сначала чертим асимптоты $x=3$ и $y=0$. Затем наносим вычисленные точки на координатную плоскость и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(3, 0)$, вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(4, 2)$ и $(2, -2)$.

3) $y = -\frac{3}{x+2}$

График функции $y = -\frac{3}{x+2}$ — это гипербола. Её получают сдвигом графика функции $y = -\frac{3}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox, так как $x+2 = x - (-2)$.

Вертикальная асимптота графика находится из условия $x+2=0$, то есть $x=-2$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

Коэффициент $k=-3$ отрицательный, поэтому ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно асимптот $x=-2$ и $y=0$. Вычислим координаты нескольких точек для построения.

При $x=-1$, $y = -\frac{3}{-1+2} = -3$. Точка $(-1, -3)$.

При $x=1$, $y = -\frac{3}{1+2} = -1$. Точка $(1, -1)$.

При $x=-3$, $y = -\frac{3}{-3+2} = 3$. Точка $(-3, 3)$.

При $x=-5$, $y = -\frac{3}{-5+2} = 1$. Точка $(-5, 1)$.

Построение: наносим на координатную плоскость асимптоты $x=-2$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и проводим через них две плавные кривые — ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(-2, 0)$, вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(-1, -3)$ и $(-3, 3)$.

4) $y = \frac{0.5}{x+3}$

График функции $y = \frac{0.5}{x+3}$ является гиперболой. Он получается путем сдвига графика функции $y = \frac{0.5}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс.

Вертикальная асимптота графика проходит там, где знаменатель обращается в ноль: $x+3=0$, откуда $x=-3$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

Так как коэффициент $k=0.5$ положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами $x=-3$ и $y=0$. Найдем несколько точек для построения.

При $x=-2.5$, $y = \frac{0.5}{-2.5+3} = 1$. Точка $(-2.5, 1)$.

При $x=-2$, $y = \frac{0.5}{-2+3} = 0.5$. Точка $(-2, 0.5)$.

При $x=-3.5$, $y = \frac{0.5}{-3.5+3} = -1$. Точка $(-3.5, -1)$.

При $x=-4$, $y = \frac{0.5}{-4+3} = -0.5$. Точка $(-4, -0.5)$.

Чтобы построить график, чертим асимптоты $x=-3$ и $y=0$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными линиями, получая ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в точке $(-3, 0)$, вертикальной асимптотой $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях относительно асимптот и проходят, например, через точки $(-2.5, 1)$ и $(-3.5, -1)$.