Задания, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Используя график функции $y = \frac{2x+1}{x-1}$, опишите ее свойства.

Для описания свойств функции $y = \frac{2x + 1}{x - 1}$ необходимо проанализировать ее и представить ее график. Преобразуем функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2x - 2 + 3}{x - 1} = \frac{2(x - 1)}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$.

Это гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Центр симметрии гиперболы находится в точке $(1; 2)$.

На основе этого анализа и мысленного представления графика, опишем свойства функции.

1. Область определения функции

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае это $x - 1 = 0$, то есть $x=1$. На графике это соответствует вертикальной асимптоте.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Область значений функции

Из преобразованного вида функции $y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ видно, что слагаемое $\frac{3}{x - 1}$ может принимать любые значения, кроме нуля. Следовательно, $y$ может принимать любые значения, кроме 2. На графике это соответствует горизонтальной асимптоте $y=2$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Четность

Проверим функцию на четность. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{2(-x) + 1}{-x - 1} = \frac{-2x + 1}{-x - 1} = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

Ответ: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = -1$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, приравняем $y$ к нулю:

$\frac{2x + 1}{x - 1} = 0 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -0.5$.

Точка пересечения с осью Ox: $(-0.5; 0)$.

Ответ: Пересечение с осью Ox: $(-0.5; 0)$; пересечение с осью Oy: $(0; -1)$.

5. Промежутки знакопостоянства

Знаки функции определяются на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции ($x=-0.5$) и точками разрыва ($x=1$).

Интервалы: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 1)$, $(1; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -0.5)$ функция положительна ($y>0$). Например, $y(-1) = 0.5$.- На интервале $(-0.5; 1)$ функция отрицательна ($y<0$). Например, $y(0) = -1$.- На интервале $(1; +\infty)$ функция положительна ($y>0$). Например, $y(2) = 5$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -0.5) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-0.5; 1)$.

6. Промежутки монотонности

Найдем производную функции, чтобы определить интервалы возрастания и убывания.

$y' = \left(2 + \frac{3}{x - 1}\right)' = -\frac{3}{(x - 1)^2}$.

Поскольку $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, а числитель -3 отрицателен, то $y' < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: Функция убывает на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

7. Асимптоты

Как было показано ранее, график функции имеет асимптоты.

- Вертикальная асимптота находится в точке разрыва функции: $x = 1$.

- Горизонтальная асимптота определяется пределом функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + 1/x}{1 - 1/x} = 2$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x = 1$; горизонтальная асимптота: $y = 2$.