Вопросы, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как получили формулу дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$?

2. Как вы думаете, почему функцию $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ назвали дробно-линейной?

1. Как получили формулу дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$?

Формулу дробно-линейной функции можно получить, рассматривая ее как общий случай функции, график которой является гиперболой. Эта формула является результатом преобразования (параллельного переноса и растяжения) графика простейшей обратной пропорциональности $y = \frac{1}{x}$. Чтобы это показать, выполним алгебраические преобразования, выделив целую часть дроби.

Для функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ будем считать, что $c \neq 0$ (в противном случае, если $d \neq 0$, функция становится линейной $y = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$) и $ad - bc \neq 0$ (в противном случае функция является постоянной, за исключением точки разрыва).

Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе «уголком» или преобразуем выражение, искусственно выделяя в числителе слагаемое, содержащее знаменатель:

$y = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx) + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx + d - d) + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c}(cx + d) - \frac{ad}{c} + b}{cx + d}$

Теперь разделим числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d)}{cx+d} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c(cx+d)}$

Это выражение уже показывает, что график функции — это гипербола. Чтобы сделать это еще нагляднее, приведем уравнение к каноническому виду графика гиперболы со смещенным центром $y - y_0 = \frac{k}{x - x_0}$:

$y - \frac{a}{c} = \frac{bc-ad}{c^2(x + \frac{d}{c})}$

Если ввести обозначения $y_0 = \frac{a}{c}$, $x_0 = -\frac{d}{c}$ и $k = \frac{bc-ad}{c^2}$, то уравнение примет вид:

$y - y_0 = \frac{k}{x - x_0}$

Эта формула описывает гиперболу $Y = \frac{k}{X}$, которая получена из графика $y = \frac{k}{x}$ путем параллельного переноса так, что ее новый центр находится в точке $(x_0, y_0)$.

Таким образом, формула дробно-линейной функции была получена как обобщение функции обратной пропорциональности, или, что эквивалентно, как функция, представляющая собой отношение двух линейных функций общего вида.

Ответ: Формула дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ является наиболее общим видом функции, график которой есть гипербола (с вертикальной и горизонтальной асимптотами), и получается путем преобразования простейшей гиперболы $y=\frac{1}{x}$. Также ее можно рассматривать как отношение двух линейных функций $f_1(x) = ax+b$ и $f_2(x) = cx+d$.

2. Как вы думаете, почему функцию $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ назвали дробно-линейной?

Название «дробно-линейная» функция получила в точном соответствии со своим математическим видом. Это название является составным и описывает структуру формулы:

1. Часть «дробно» (происходит от слова «дробь») указывает на то, что функция задана в виде дроби, то есть отношения (деления) двух выражений.

2. Часть «линейная» указывает на вид выражений, из которых состоит эта дробь. И числитель ($ax+b$), и знаменатель ($cx+d$) являются многочленами первой степени. Функции, задаваемые такими выражениями (вида $f(x)=kx+m$), называются линейными.

Таким образом, название «дробно-линейная функция» дословно означает, что это функция, которая является дробью, составленной из двух линейных функций.

Ответ: Функцию назвали дробно-линейной, потому что она представляет собой дробь (отношение), в числителе и знаменателе которой находятся выражения, задающие линейные функции.