Номер 8.5, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.5. 1) $y = 2 + \frac{1}{x-2}$;
2) $y = 2 + \frac{1}{x-3}$;
3) $y = 1 - \frac{1}{x+2}$;
4) $y = 1 - \frac{1}{x+3}$.

1) Данная функция $y = 2 + \frac{1}{x-2}$ является рациональной функцией. Ее график — гипербола, полученная из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью геометрических преобразований.

Преобразования для получения графика $y = 2 + \frac{1}{x-2}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем функцию $y = \frac{1}{x-2}$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомую функцию $y = 2 + \frac{1}{x-2}$.

Центр симметрии гиперболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(2;2)$.

Область определения функции $D(y)$: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота — прямая $x=2$, так как при $x \to 2$ значение функции стремится к бесконечности.

- Горизонтальная асимптота — прямая $y=2$, так как при $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{1}{x-2} \to 0$ и $y \to 2$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=2$.

2) Функция $y = 2 + \frac{1}{x-3}$ также является преобразованием базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Преобразования для получения графика $y = 2 + \frac{1}{x-3}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox, чтобы получить $y = \frac{1}{x-3}$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy, чтобы получить $y = 2 + \frac{1}{x-3}$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(3;2)$.

Область определения функции $D(y)$: $x-3 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=3$.

- Горизонтальная асимптота: $y=2$, так как при $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x-3} \to 0$ и $y \to 2$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=2$.

3) Функция $y = 1 - \frac{1}{x+2}$ является преобразованием гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Преобразования для получения графика $y = 1 - \frac{1}{x+2}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox, получаем $y = \frac{1}{x+2}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox, получаем $y = -\frac{1}{x+2}$.

3. Сдвиг последнего графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, получаем $y = 1 - \frac{1}{x+2}$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(-2;1)$.

Область определения функции $D(y)$: $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq -2$. $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=-2$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$, так как при $x \to \pm\infty$, $-\frac{1}{x+2} \to 0$ и $y \to 1$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=1$.

4) Функция $y = 1 - \frac{1}{x+3}$ является преобразованием гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

Преобразования для получения графика $y = 1 - \frac{1}{x+3}$ из $y = \frac{1}{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox, получаем $y = \frac{1}{x+3}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox, получаем $y = -\frac{1}{x+3}$.

3. Сдвиг последнего графика на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, получаем $y = 1 - \frac{1}{x+3}$.

Центр симметрии гиперболы смещается в точку $(-3;1)$.

Область определения функции $D(y)$: $x+3 \neq 0$, следовательно $x \neq -3$. $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=-3$.

- Горизонтальная асимптота: $y=1$, так как при $x \to \pm\infty$, $-\frac{1}{x+3} \to 0$ и $y \to 1$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=1$.