Номер 8.12, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.12. Постройте график функции (8.12—8.14):

1) $y=\left|\frac{2x}{x-2}\right|$;

2) $y=\left|\frac{3x-1}{x-1}\right|$;

3) $y=\left|\frac{4x+2}{x+2}\right|$;

4) $y=\left|\frac{2x-1}{2x-3}\right|$.

1) Для построения графика функции $y=|\frac{2x}{x-2}|$ сначала построим график вспомогательной функции $g(x)=\frac{2x}{x-2}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Преобразуем выражение, выделив целую часть: $g(x) = \frac{2(x-2)+4}{x-2} = 2 + \frac{4}{x-2}$.

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=2$.

Точки пересечения с осями: если $x=0$, то $y=0$. Если $y=0$, то $2x=0 \implies x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

Чтобы построить график функции $y = |g(x)|$, нужно ту часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox ($g(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox. Остальную часть графика ($g(x) \ge 0$) оставить без изменений.

Найдем, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{2x}{x-2} < 0$ справедливо при $x \in (0, 2)$.

Следовательно, часть графика на интервале $(0, 2)$ отражается вверх. В точке $(0,0)$, где график пересекает ось Ox, будет излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{2x}{x-2}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. Он состоит из двух ветвей. Первая ветвь находится в области $x > 2$, она приближается к асимптоте $x=2$ справа и к асимптоте $y=2$ сверху. Вторая ветвь находится в области $x < 2$. При $x \to -\infty$ она приближается к асимптоте $y=2$ снизу, затем проходит через точку $(0,0)$, где образуется излом, и уходит вверх, приближаясь к асимптоте $x=2$ слева. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

2) Построим график функции $y=|\frac{3x-1}{x-1}|$. Для этого сначала проанализируем функцию без модуля: $g(x)=\frac{3x-1}{x-1}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{3(x-1)+2}{x-1} = 3 + \frac{2}{x-1}$.

График этой функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо и 3 единицы вверх.

Асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=3$.

Точки пересечения с осями: - С осью Ox ($y=0$): $3x-1=0 \implies x=1/3$. Точка $(1/3, 0)$. - С осью Oy ($x=0$): $y=\frac{-1}{-1}=1$. Точка $(0, 1)$.

График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $g(x)$ отражением той части, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

Найдем, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{3x-1}{x-1} < 0$ выполняется при $x \in (1/3, 1)$.

Таким образом, часть графика на интервале $(1/3, 1)$ отражается относительно оси Ox. В точке $(1/3, 0)$ будет излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{3x-1}{x-1}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. Он состоит из двух ветвей. Первая ветвь находится в области $x > 1$ и приближается к асимптотам $x=1$ и $y=3$. Вторая ветвь находится в области $x < 1$. При $x \to -\infty$ она приближается к асимптоте $y=3$ снизу, проходит через точку $(0,1)$, достигает точки $(1/3, 0)$, где образует излом, и затем уходит вверх, приближаясь к асимптоте $x=1$ слева. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

3) Рассмотрим функцию $y=|\frac{4x+2}{x+2}|$. Сначала построим график функции $g(x)=\frac{4x+2}{x+2}$.

Преобразуем выражение: $g(x) = \frac{4(x+2)-8+2}{x+2} = 4 - \frac{6}{x+2}$.

График этой функции — гипербола, полученная из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вверх по оси Oy.

Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=4$.

Точки пересечения с осями: - С осью Ox ($y=0$): $4x+2=0 \implies x=-1/2$. Точка $(-1/2, 0)$. - С осью Oy ($x=0$): $y=\frac{2}{2}=1$. Точка $(0, 1)$.

Чтобы получить график $y=|g(x)|$, необходимо часть графика $g(x)$, расположенную под осью Ox, отразить симметрично относительно этой оси.

Определим, где $g(x) < 0$: неравенство $\frac{4x+2}{x+2} < 0$ справедливо при $x \in (-2, -1/2)$.

Следовательно, ветвь гиперболы на интервале $(-2, -1/2)$ отражается вверх. В точке $(-1/2, 0)$ образуется излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{4x+2}{x+2}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=-2$ и горизонтальную асимптоту $y=4$. Он состоит из двух ветвей. Первая ветвь находится в области $x < -2$, приближаясь к асимптотам $x=-2$ и $y=4$. Вторая ветвь находится в области $x > -2$. Она начинается от асимптоты $x=-2$ сверху, спускается до точки $(-1/2, 0)$, где имеет излом, затем поднимается, проходя через точку $(0,1)$, и приближается к асимптоте $y=4$ снизу при $x \to \infty$. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).

4) Построим график функции $y=|\frac{2x-1}{2x-3}|$. Начнем с графика функции без модуля $g(x)=\frac{2x-1}{2x-3}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{(2x-3)+2}{2x-3} = 1 + \frac{2}{2x-3}$.

График этой функции — гипербола. Асимптоты: вертикальная $2x-3=0 \implies x=3/2$ и горизонтальная $y=1$.

Найдем точки пересечения с осями координат: - С осью Ox ($y=0$): $2x-1=0 \implies x=1/2$. Точка $(1/2, 0)$. - С осью Oy ($x=0$): $y=\frac{-1}{-3}=1/3$. Точка $(0, 1/3)$.

График функции $y = |g(x)|$ получается из графика $g(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси.

Найдем промежутки, где $g(x)<0$: неравенство $\frac{2x-1}{2x-3}<0$ выполняется при $x \in (1/2, 3/2)$.

Таким образом, часть графика $g(x)$ на интервале $(1/2, 3/2)$ отражается вверх. В точке $(1/2, 0)$ будет излом.

Ответ: График функции $y = |\frac{2x-1}{2x-3}|$ имеет вертикальную асимптоту $x=3/2$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Состоит из двух ветвей. Первая ветвь расположена в области $x > 3/2$ и приближается к своим асимптотам. Вторая ветвь находится в области $x < 3/2$. При $x \to -\infty$ она приближается к асимптоте $y=1$ снизу, проходит через точку $(0, 1/3)$, достигает точки $(1/2, 0)$, где образует излом, после чего уходит вверх, приближаясь к асимптоте $x=3/2$ слева. Все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$).