Номер 8.10, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.10.Постройте график функции:

1) $y=\frac{2x}{x-2}$;

2) $y=\frac{3x-1}{x-3}$;

3) $y=\left|\frac{4x}{x+2}\right|$;

4) $y=\left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$.

1) Для построения графика функции $y=\frac{2x}{x-2}$ преобразуем данное выражение, выделив целую часть:

$y=\frac{2x}{x-2} = \frac{2x-4+4}{x-2} = \frac{2(x-2)+4}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = 2+\frac{4}{x-2}$.

Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{4}{x-2}+2$.

График этой функции является гиперболой, полученной из графика функции $y=\frac{4}{x}$ путем следующих преобразований:

1. Сдвиг графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y=\frac{4}{x-2}$.

2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем график функции $y=\frac{4}{x-2}+2$.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

• Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{2 \cdot 0}{0-2} = 0$. Точка (0; 0).

• С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{2x}{x-2} = 0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$. Точка (0; 0).

График проходит через начало координат. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах относительно новых осей (асимптот).

Ответ: График функции $y=\frac{2x}{x-2}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. График можно получить, сдвинув график функции $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Он проходит через точку (0; 0).

2) Преобразуем функцию $y=\frac{3x-1}{x-3}$, выделив целую часть:

$y=\frac{3x-1}{x-3} = \frac{3x-9+8}{x-3} = \frac{3(x-3)+8}{x-3} = \frac{3(x-3)}{x-3} + \frac{8}{x-3} = 3+\frac{8}{x-3}$.

График функции $y = \frac{8}{x-3}+3$ — это гипербола, полученная из графика $y=\frac{8}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-3=0 \Rightarrow x=3$.

• Горизонтальная асимптота: $y=3$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$. Точка $(0; \frac{1}{3})$.

• С осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{3x-1}{x-3} = 0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$. Точка $(\frac{1}{3}; 0)$.

Ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных углах относительно системы координат, образованной асимптотами.

Ответ: График функции $y=\frac{3x-1}{x-3}$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. График получается сдвигом графика $y=\frac{8}{x}$ на 3 единицы вправо и 3 единицы вверх. Он пересекает ось Oy в точке $(0; \frac{1}{3})$ и ось Ox в точке $(\frac{1}{3}; 0)$.

3) Для построения графика функции $y=\left|\frac{4x}{x+2}\right|$ сначала построим график функции $f(x)=\frac{4x}{x+2}$, а затем отразим ту часть графика, которая находится ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

1. Построим график $f(x)=\frac{4x}{x+2}$. Выделим целую часть:

$f(x) = \frac{4x+8-8}{x+2} = \frac{4(x+2)-8}{x+2} = 4 - \frac{8}{x+2}$.

Это гипербола, полученная из графика $y=-\frac{8}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево и на 4 единицы вверх. Асимптоты: $x=-2$ (вертикальная) и $y=4$ (горизонтальная). Поскольку коэффициент при дроби отрицательный (–8), ветви гиперболы расположены во втором и четвертом координатных углах относительно асимптот.

2. Теперь построим график $y = |f(x)| = \left|\frac{4x}{x+2}\right|$.

Часть графика $f(x)$, где $f(x) \geq 0$, остается без изменений. Это происходит при $\frac{4x}{x+2} \geq 0$, то есть при $x \in (-\infty; -2) \cup [0; +\infty)$.

Часть графика $f(x)$, где $f(x) < 0$, отражается симметрично относительно оси Ox. Это происходит при $\frac{4x}{x+2} < 0$, то есть при $x \in (-2; 0)$.

В результате преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=-2$ сохраняется.

• Горизонтальная асимптота $y=4$ сохраняется для $x \to \pm\infty$.

• Нижняя ветвь графика (в интервале $x \in (-2; 0)$) отражается вверх.

• График не имеет отрицательных значений по оси Oy.

Ответ: График функции $y=\left|\frac{4x}{x+2}\right|$ получается из графика гиперболы $f(x)=\frac{4x}{x+2}$ (с асимптотами $x=-2$, $y=4$) путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox (на интервале $x \in (-2; 0)$), симметрично относительно оси Ox. Весь график лежит в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

4) Для построения графика функции $y=\left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$ воспользуемся тем же методом, что и в пункте 3. Заметим, что $\left|\frac{-2x}{2x-3}\right| = \left|\frac{2x}{2x-3}\right|$. Построим график функции $f(x)=\frac{-2x}{2x-3}$.

1. Преобразуем $f(x)=\frac{-2x}{2x-3}$, выделив целую часть:

$f(x) = \frac{-(2x-3)-3}{2x-3} = \frac{-(2x-3)}{2x-3} - \frac{3}{2x-3} = -1 - \frac{3}{2x-3}$.

Это гипербола с асимптотами: $2x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная). График получается из $y=-\frac{3/2}{x}$ сдвигом на $\frac{3}{2}$ вправо и на 1 вниз. Ветви расположены во втором и четвертом координатных углах относительно асимптот.

2. Построим график $y = |f(x)| = \left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$.

Определим знаки $f(x)$: $f(x) \geq 0$ при $\frac{-2x}{2x-3} \geq 0$, что эквивалентно $\frac{2x}{2x-3} \leq 0$. Это выполняется для $x \in [0; \frac{3}{2})$. На этом интервале график $y=|f(x)|$ совпадает с графиком $f(x)$.

На интервалах $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$ функция $f(x) < 0$, поэтому на этих участках ее график отражается симметрично относительно оси Ox.

В результате преобразования:

• Вертикальная асимптота $x=\frac{3}{2}$ сохраняется.

• Горизонтальная асимптота $y=-1$ для графика $f(x)$ преобразуется в горизонтальную асимптоту $y=1$ для графика $y=|f(x)|$ при $x \to \pm\infty$.

• График целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \geq 0$) и проходит через точку (0; 0).

Ответ: График функции $y=\left|\frac{-2x}{2x-3}\right|$ получается из графика гиперболы $f(x)=\frac{-2x}{2x-3}$ (с асимптотами $x=3/2$, $y=-1$) путем отражения частей графика, лежащих ниже оси Ox (на интервалах $x \in (-\infty; 0)$ и $x \in (\frac{3}{2}; +\infty)$), симметрично относительно оси Ox. Итоговый график имеет вертикальную асимптоту $x=\frac{3}{2}$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.