Задания, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Убедитесь, что решением неравенства $ \frac{4}{|x+5|} - 3 < 0 $ является множество $ (-\infty; -6\frac{1}{3}) \cup (-3\frac{2}{3}; +\infty) $.

Для того чтобы убедиться, что указанное множество является решением, необходимо решить данное неравенство.

Исходное неравенство: $ \frac{4}{|x+5|} - 3 < 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x+5| \neq 0$, что означает $x+5 \neq 0$, и следовательно $x \neq -5$.

Теперь приступим к решению неравенства. Перенесем $-3$ в правую часть неравенства, изменив знак: $ \frac{4}{|x+5|} < 3 $

Так как по определению модуля $|x+5| \ge 0$, а из ОДЗ мы знаем, что $|x+5| \neq 0$, то знаменатель $|x+5|$ всегда является положительным числом. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $|x+5|$, не меняя при этом знака неравенства: $ 4 < 3|x+5| $

Разделим обе части на 3: $ \frac{4}{3} < |x+5| $

Это неравенство можно переписать в более привычном виде: $ |x+5| > \frac{4}{3} $

Неравенство вида $|a| > b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$. В нашем случае $a = x+5$ и $b = \frac{4}{3}$. Получаем совокупность: $ x+5 > \frac{4}{3} $ или $ x+5 < -\frac{4}{3} $.

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $ x+5 > \frac{4}{3} $ $ x > \frac{4}{3} - 5 $ $ x > \frac{4}{3} - \frac{15}{3} $ $ x > -\frac{11}{3} $ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x > -3\frac{2}{3}$.

2) $ x+5 < -\frac{4}{3} $ $ x < -\frac{4}{3} - 5 $ $ x < -\frac{4}{3} - \frac{15}{3} $ $ x < -\frac{19}{3} $ Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x < -6\frac{1}{3}$.

Объединяя полученные решения, мы получаем множество $ x \in (-\infty; -6\frac{1}{3}) \cup (-3\frac{2}{3}; +\infty) $. Это решение не включает точку $x=-5$, так как $-5$ не входит ни в один из этих интервалов, что соответствует ОДЗ.

Таким образом, мы убедились, что решение исходного неравенства полностью совпадает с множеством, указанным в условии задачи.

Ответ: Решение неравенства $ \frac{4}{|x+5|} - 3 < 0 $ действительно является множество $ (-\infty; -6\frac{1}{3}) \cup (-3\frac{2}{3}; +\infty) $.