Номер 9.2, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.2. Найдите область определения и множество значений функции:

1) $f(x) = |x-1| \cdot \frac{1}{x-1}$;

2) $f(x) = |x+2| \cdot \frac{1}{2+x}$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}};

4) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-2}-1}$.

1) $f(x) = |x - 1| \cdot \frac{1}{x - 1}$

Область определения $D(f)$:

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Раскроем модуль $|x-1|$ в зависимости от знака выражения под ним:

Если $x > 1$, то $x-1 > 0$ и $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $f(x) = (x-1) \cdot \frac{1}{x-1} = 1$.

Если $x < 1$, то $x-1 < 0$ и $|x-1| = -(x-1)$. Функция принимает вид: $f(x) = -(x-1) \cdot \frac{1}{x-1} = -1$.

Следовательно, функция может принимать только два значения: 1 и -1.

Множество значений функции: $E(f) = \{-1, 1\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$; множество значений $E(f) = \{-1, 1\}$.

2) $f(x) = |x + 2| \cdot \frac{1}{2 + x}$

Область определения $D(f)$:

Функция определена, когда знаменатель $2+x$ не равен нулю.

$2 + x \neq 0 \implies x \neq -2$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Заметим, что $2+x = x+2$. Раскроем модуль $|x+2|$:

Если $x > -2$, то $x+2 > 0$ и $|x+2| = x+2$. Функция принимает вид: $f(x) = (x+2) \cdot \frac{1}{x+2} = 1$.

Если $x < -2$, то $x+2 < 0$ и $|x+2| = -(x+2)$. Функция принимает вид: $f(x) = -(x+2) \cdot \frac{1}{x+2} = -1$.

Следовательно, функция может принимать только два значения: 1 и -1.

Множество значений функции: $E(f) = \{-1, 1\}$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$; множество значений $E(f) = \{-1, 1\}$.

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Область определения $D(f)$:

Для того чтобы функция была определена, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x-2} \neq 0 \implies x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Объединяя эти условия, получаем строгое неравенство: $x - 2 > 0$, откуда $x > 2$.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = (2; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

В области определения $x > 2$, выражение $\sqrt{x-2}$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.

Когда $x$ стремится к 2 справа ($x \to 2^+$), знаменатель $\sqrt{x-2}$ стремится к $0^+$, а значение функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$ стремится к $+\infty$.

Когда $x$ стремится к $+\infty$, знаменатель $\sqrt{x-2}$ также стремится к $+\infty$, а значение функции $f(x)$ стремится к $0^+$.

Поскольку квадратный корень в знаменателе всегда положителен в области определения, то и сама функция $f(x)$ всегда положительна.

Следовательно, множество значений функции: $E(f) = (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (2; +\infty)$; множество значений $E(f) = (0; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x - 2} - 1}$

Область определения $D(f)$:

Для определения функции необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x - 2} - 1 \neq 0 \implies \sqrt{x-2} \neq 1 \implies x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ может быть любым числом, большим или равным 2, за исключением 3.

Таким образом, область определения функции: $D(f) = [2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Множество значений $E(f)$:

Проанализируем поведение знаменателя $g(x)=\sqrt{x-2}-1$ на области определения.

Когда $x$ принадлежит интервалу $[2, 3)$, $x-2$ изменяется от $0$ до $1$. Тогда $\sqrt{x-2}$ изменяется от $0$ до $1$, а знаменатель $g(x)$ изменяется от $-1$ до $0$. В этом случае $f(x) = \frac{2}{g(x)}$ принимает значения от $\frac{2}{-1} = -2$ (включительно, при $x=2$) до $-\infty$ (когда $x$ стремится к 3 слева). Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат $(-\infty, -2]$.

Когда $x$ принадлежит интервалу $(3, +\infty)$, $x-2$ изменяется от $1$ до $+\infty$. Тогда $\sqrt{x-2}$ изменяется от $1$ до $+\infty$, а знаменатель $g(x)$ изменяется от $0$ до $+\infty$. В этом случае $f(x) = \frac{2}{g(x)}$ принимает значения от $+\infty$ (когда $x$ стремится к 3 справа) до $0$ (когда $x$ стремится к $+\infty$). Таким образом, на этом промежутке значения функции принадлежат $(0, +\infty)$.

Объединив оба случая, получаем полное множество значений функции.

Множество значений функции: $E(f) = (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [2; 3) \cup (3; +\infty)$; множество значений $E(f) = (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.