Номер 9.7, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.7. Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором достигается это наименьшее значение функции:

1) $y = 3 + \sqrt{x+2}$;

2) $y = \sqrt{x^2 - 1} - 2$;

3) $y = 3 + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

1) Дана функция $y = 3 + \sqrt{x+2}$.

Область определения функции находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$. Таким образом, область определения $D(y) = [-2, +\infty)$.

Функция $y$ представляет собой сумму постоянного числа 3 и неотрицательного слагаемого $\sqrt{x+2}$. Наименьшее значение функции достигается тогда, когда слагаемое $\sqrt{x+2}$ принимает свое наименьшее возможное значение.

Наименьшее значение выражения $\sqrt{x+2}$ равно 0, так как корень арифметический. Это значение достигается при условии $x+2=0$, то есть при $x=-2$.

Тогда наименьшее значение функции равно: $y_{min} = 3 + \sqrt{-2+2} = 3 + \sqrt{0} = 3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3 при $x=-2$.

2) Дана функция $y = \sqrt{x^2-1} - 2$.

Область определения функции находится из условия $x^2-1 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-1)(x+1) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Функция $y$ принимает наименьшее значение, когда выражение $\sqrt{x^2-1}$ принимает наименьшее значение. Это, в свою очередь, происходит, когда подкоренное выражение $x^2-1$ минимально на области определения.

Выражение $x^2-1$ на области определения $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ принимает свое наименьшее значение, равное 0, в точках $x=-1$ и $x=1$.

Следовательно, наименьшее значение $\sqrt{x^2-1}$ равно $\sqrt{0}=0$.

Тогда наименьшее значение функции равно: $y_{min} = 0 - 2 = -2$.

Это значение достигается при $x=-1$ и $x=1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2 при $x=-1$ и $x=1$.

3) Дана функция $y = 3 + \sqrt{x^2 - 2x - 3}$.

Найдем область определения функции из условия $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $f(x)=x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

Функция $y$ является суммой константы 3 и неотрицательного слагаемого $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$. Наименьшее значение функции будет достигнуто, когда слагаемое $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$ будет минимальным.

На своей области определения подкоренное выражение $x^2 - 2x - 3$ всегда неотрицательно. Его наименьшее значение равно 0 и достигается в точках, где $x^2 - 2x - 3 = 0$, то есть при $x=-1$ и $x=3$.

Следовательно, наименьшее значение $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$ равно $\sqrt{0}=0$.

Тогда наименьшее значение функции равно: $y_{min} = 3 + 0 = 3$.

Это значение достигается при $x=-1$ и $x=3$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3 при $x=-1$ и $x=3$.