Номер 9.1, страница 79, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.1. Исследуйте на четность функцию $y = f(x)$:

1) $f(x) = (1 - 2x)^3 + (1 + 2x)^3$;

2) $f(x) = (3x - 2)^4 - (3x + 2)^4$;

3) $f(x) = |2x - 1|(x + 2) + |2x + 1|(x - 2)$;

4) $f(x) = |x - 1|(x + 3) - |x + 1|(x - 3)$.

1) Для исследования функции $f(x) = (1 - 2x)^3 + (1 + 2x)^3$ на четность, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = f(x)$ (четная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечетная функция).

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (1 - 2(-x))^3 + (1 + 2(-x))^3 = (1 + 2x)^3 + (1 - 2x)^3$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, получаем:

$f(-x) = (1 - 2x)^3 + (1 + 2x)^3 = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) Исследуем на четность функцию $f(x) = (3x - 2)^4 - (3x + 2)^4$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (3(-x) - 2)^4 - (3(-x) + 2)^4 = (-3x - 2)^4 - (-3x + 2)^4$.

Используем свойство четной степени: $(-a)^4 = a^4$.

$f(-x) = (-(3x + 2))^4 - (-(3x - 2))^4 = (3x + 2)^4 - (3x - 2)^4$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы сравнить с исходной функцией:

$f(-x) = -((3x - 2)^4 - (3x + 2)^4) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

3) Исследуем на четность функцию $f(x) = |2x - 1|(x + 2) + |2x + 1|(x - 2)$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |2(-x) - 1|(-x + 2) + |2(-x) + 1|(-x - 2)$.

$f(-x) = |-2x - 1|(2 - x) + |-2x + 1|(-x - 2)$.

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$ и вынесем минус из скобок:

$f(-x) = |-(2x + 1)|(-(x - 2)) + |-(2x - 1)|(-(x + 2))$.

$f(-x) = |2x + 1|(-(x - 2)) + |2x - 1|(-(x + 2))$.

$f(-x) = -|2x + 1|(x - 2) - |2x - 1|(x + 2)$.

Вынесем общий знак минус за скобки:

$f(-x) = -(|2x - 1|(x + 2) + |2x + 1|(x - 2)) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

4) Исследуем на четность функцию $f(x) = |x - 1|(x + 3) - |x + 1|(x - 3)$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |(-x) - 1|((-x) + 3) - |(-x) + 1|((-x) - 3)$.

$f(-x) = |-x - 1|(3 - x) - |-x + 1|(-x - 3)$.

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$ и вынесем минус из скобок:

$f(-x) = |-(x + 1)|(-(x - 3)) - |-(x - 1)|(-(x + 3))$.

$f(-x) = |x + 1|(-(x - 3)) - |x - 1|(-(x + 3))$.

$f(-x) = -|x + 1|(x - 3) + |x - 1|(x + 3)$.

Поменяем слагаемые местами:

$f(-x) = |x - 1|(x + 3) - |x + 1|(x - 3) = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.