Номер 9.6, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.6. По графику функции (рис. 9.4) найдите промежутки ее возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы, наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-5; 5]$.

Рис. 9.4

Промежутки ее возрастания и убывания

Анализируя график функции на отрезке $[-5; 5]$, мы определяем, где он идет вверх (возрастание) и где вниз (убывание) при движении слева направо.

Функция возрастает на промежутках, где ее график поднимается. Это происходит на $x \in [-3, 0]$ и $x \in [3, 5]$.

Функция убывает на промежутках, где ее график опускается. Это происходит на $x \in [-5, -3]$ и $x \in [0, 3]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-3; 0]$ и $[3; 5]$; функция убывает на промежутках $[-5; -3]$ и $[0; 3]$.

Точки экстремума и экстремумы

Точки экстремума — это значения аргумента $x$, в которых функция достигает своего локального максимума или минимума. Экстремумы — это сами эти максимальные и минимальные значения функции $y$.

Из графика находим:

- Точки минимума (впадины на графике): $x_{min} = -3$ и $x_{min} = 3$.

- Точка максимума (вершина на графике): $x_{max} = 0$.

Значения функции в этих точках (экстремумы):

- Минимум функции: $y_{min} = f(-3) = f(3) = -2$.

- Максимум функции: $y_{max} = f(0) = 2$.

Ответ: точки минимума: $x=-3, x=3$; точка максимума: $x=0$. Минимум функции равен -2; максимум функции равен 2.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-5; 5]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо сравнить значения функции в точках экстремума внутри этого отрезка и на его концах.

Кандидаты на наибольшее и наименьшее значения — это значения функции в точках $x=-5$, $x=-3$, $x=0$, $x=3$ и $x=5$.

Найдем эти значения по графику:

- Значения на концах отрезка: $f(-5) = 4$ и $f(5) = 4$.

- Значения в точках экстремума: $f(-3) = -2$, $f(3) = -2$ и $f(0) = 2$.

Сравнивая полученный набор значений $\{4, -2, 2\}$, делаем вывод:

- Наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ равно 4 (достигается в точках $x=-5$ и $x=5$).

- Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ равно -2 (достигается в точках $x=-3$ и $x=3$).

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 5]$ равно 4, а наименьшее значение равно -2.