Номер 9.13, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.13. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции и ее экстремумы:

1) $y = (x + 1)^4 + 1$;

2) $y = 2 - (x - 1)^4$;

3) $y = (x + 1)^3 - 2$.

1) Для функции $y = (x + 1)^4 + 1$ найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((x + 1)^4 + 1)' = 4(x + 1)^3 \cdot (x + 1)' + 0 = 4(x + 1)^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4(x + 1)^3 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

При $x < -1$, например $x = -2$, производная $y'(-2) = 4(-2 + 1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

При $x > -1$, например $x = 0$, производная $y'(0) = 4(0 + 1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.

Точка минимума: $x_{min} = -1$.

Точек максимума у функции нет.

Найдем значение функции в точке минимума, то есть минимум (экстремум) функции:

$y_{min} = y(-1) = (-1 + 1)^4 + 1 = 0^4 + 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1]$, точка минимума $x_{min} = -1$, минимум функции $y_{min} = 1$, точек максимума нет.

2) Для функции $y = 2 - (x - 1)^4$ найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (2 - (x - 1)^4)' = 0 - 4(x - 1)^3 \cdot (x - 1)' = -4(x - 1)^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies -4(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x < 1$, например $x = 0$, производная $y'(0) = -4(0 - 1)^3 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.

При $x > 1$, например $x = 2$, производная $y'(2) = -4(2 - 1)^3 = -4 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума.

Точка максимума: $x_{max} = 1$.

Точек минимума у функции нет.

Найдем значение функции в точке максимума, то есть максимум (экстремум) функции:

$y_{max} = y(1) = 2 - (1 - 1)^4 = 2 - 0 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 1$, максимум функции $y_{max} = 2$, точек минимума нет.

3) Для функции $y = (x + 1)^3 - 2$ найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы.

Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = ((x + 1)^3 - 2)' = 3(x + 1)^2 \cdot (x + 1)' - 0 = 3(x + 1)^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies 3(x + 1)^2 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Это единственная критическая точка. Исследуем знак производной.

Выражение $(x + 1)^2$ неотрицательно для любого действительного значения $x$. Оно равно нулю при $x = -1$ и положительно при всех остальных значениях $x$.

Следовательно, производная $y' = 3(x + 1)^2 \ge 0$ для всех $x$. Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=-1$, то эта точка не является точкой экстремума (это точка перегиба).

Функция является возрастающей на всей области определения.

У функции нет точек максимума и минимума, а следовательно, нет и экстремумов.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет, точек максимума и минимума и экстремумов нет.