Номер 9.16, страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.16. Упростите выражение:

1) $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{(1 - \sin\alpha) \cdot (1 + \sin(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)}$;

3) $\frac{\operatorname{tg}(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$;

4) $\frac{\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin\alpha}$ воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами.

Сначала применим формулы приведения:

$\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$ (так как $2\pi$ — это полный оборот, и косинус — четная функция).

$\cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha$ (так как период функции косинуса равен $2\pi$).

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(1 - \cos\alpha) \cdot (1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$

В числителе мы видим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее:

$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем выразить $1 - \cos^2\alpha$ как $\sin^2\alpha$.

Заменим числитель на $\sin^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$

Сократим дробь:

$\sin\alpha$

Ответ: $\sin\alpha$

2) Упростим выражение $\frac{(1 - \sin\alpha) \cdot (1 + \sin(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)}$.

Применим формулы приведения:

$\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$ (период функции синуса равен $2\pi$).

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(1 - \sin\alpha) \cdot (1 + \sin\alpha)}{-\cos\alpha}$

Применим формулу разности квадратов к числителю:

$1 - \sin^2\alpha$

По основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Заменим числитель:

$\frac{\cos^2\alpha}{-\cos\alpha}$

Сократим дробь:

$-\cos\alpha$

Ответ: $-\cos\alpha$

3) Упростим выражение $\frac{\text{tg}(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$.

Применим формулы приведения для каждого тригонометрического выражения:

$\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен).

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$ (формула кофункции; угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ в I четверти, где синус положителен).

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{(-\text{tg}\alpha) \cdot (-\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha}$

Сократим $\cos\alpha$ в числителе и знаменателе:

$\text{tg}\alpha$

Ответ: $\text{tg}\alpha$

4) Упростим выражение $\frac{\text{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$.

Применим формулы приведения:

$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен).

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен).

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию).

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{\text{ctg}\alpha \cdot (-\sin\alpha)}{-\cos\alpha} = \frac{\text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha}$

Зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выполним замену в числителе:

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}$

Сократим дробь:

$1$

Ответ: $1$