Задания, страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как связаны область определения и множество значений данной функции и ей обратной функции?

Между областью определения и множеством значений данной функции и ей обратной существует прямая и очень важная взаимосвязь. Если у нас есть обратимая функция $y = f(x)$, то для нее можно определить обратную функцию, которую обычно обозначают как $y = f^{-1}(x)$ (или, что то же самое, $x = f^{-1}(y)$).

Связь заключается в том, что область определения и множество значений исходной и обратной функций "меняются местами":

- Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной (прямой) функции.

- Множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной (прямой) функции.

Математически это можно записать так:

Пусть $D(f)$ — область определения функции $f$, а $E(f)$ — множество ее значений.

Тогда для обратной функции $f^{-1}$ будут справедливы следующие равенства:

$D(f^{-1}) = E(f)$

$E(f^{-1}) = D(f)$

Это происходит потому, что обратная функция, по своей сути, "разворачивает" действие исходной функции. Если функция $f$ преобразует значение $x$ из своей области определения в значение $y$ из своего множества значений, то обратная функция $f^{-1}$ берёт это значение $y$ (которое теперь для неё является входным, то есть принадлежит её области определения) и преобразует его обратно в исходное значение $x$ (которое является для неё выходным, то есть принадлежит её множеству значений).

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x - 3}$.

1. Найдем область определения и множество значений для $f(x)$.

- Область определения $D(f)$: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$. Таким образом, $D(f) = [3, +\infty)$.

- Множество значений $E(f)$: Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(f) = [0, +\infty)$.

2. Найдем обратную функцию $f^{-1}(x)$.

- Запишем исходное уравнение: $y = \sqrt{x - 3}$.

- Выразим $x$ через $y$: возведем обе части в квадрат, получим $y^2 = x - 3$, откуда $x = y^2 + 3$.

- Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить стандартную запись функции: $y = x^2 + 3$.

- Итак, обратная функция $f^{-1}(x) = x^2 + 3$.

3. Найдем область определения и множество значений для $f^{-1}(x)$.

- Область определения $D(f^{-1})$ должна совпадать с множеством значений исходной функции $E(f)$. Значит, $D(f^{-1}) = E(f) = [0, +\infty)$.

- Множество значений $E(f^{-1})$ должно совпадать с областью определения исходной функции $D(f)$. Значит, $E(f^{-1}) = D(f) = [3, +\infty)$.

Мы можем проверить это: для функции $y = x^2 + 3$ с областью определения $x \in [0, +\infty)$, наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $y = 0^2 + 3 = 3$. При увеличении $x$ значение $y$ также неограниченно возрастает. Следовательно, множество значений действительно $[3, +\infty)$. Все сходится.

Ответ: Область определения данной функции является множеством значений для ей обратной функции, а множество значений данной функции является областью определения для ей обратной.