Номер 10.5, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.5. Являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно-обратными, если:

1) $f(x) = 3x + 5$, $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$;

2) $f(x) = \frac{3}{5} - 6x$, $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x$;

3) $f(x) = \frac{1}{7}x - 3$, $g(x) = 7x + 3?$

Чтобы определить, являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно-обратными, нужно найти функцию, обратную к одной из них (например, к $f(x)$), и проверить, совпадает ли она с другой функцией ($g(x)$). Обратную функцию $f^{-1}(x)$ находят, выражая переменную $x$ через $y$ в уравнении $y = f(x)$, а затем формально меняя местами $x$ и $y$.

1) $f(x) = 3x + 5$, $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

1. Запишем функцию как $y = 3x + 5$.

2. Выразим $x$ через $y$:

$3x = y - 5$

$x = \frac{y - 5}{3}$

$x = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3}$

3. Поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию $y = f^{-1}(x)$:

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

Следовательно, обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$.

Сравнивая $f^{-1}(x)$ и $g(x)$, видим, что они совпадают: $f^{-1}(x) = g(x)$.

Ответ: да.

2) $f(x) = \frac{3}{5} - 6x$, $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x$

Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

1. Запишем функцию как $y = \frac{3}{5} - 6x$.

2. Выразим $x$ через $y$:

$6x = \frac{3}{5} - y$

$x = \frac{1}{6}(\frac{3}{5} - y)$

$x = \frac{3}{30} - \frac{1}{6}y$

$x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}y$

3. Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$

Обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Переведем десятичную дробь в функции $g(x)$ в обыкновенную: $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Сравнивая $f^{-1}(x)$ и $g(x)$, видим, что они совпадают: $f^{-1}(x) = g(x)$.

Ответ: да.

3) $f(x) = \frac{1}{7}x - 3$, $g(x) = 7x + 3$

Найдем функцию, обратную к $f(x)$.

1. Запишем функцию как $y = \frac{1}{7}x - 3$.

2. Выразим $x$ через $y$:

$\frac{1}{7}x = y + 3$

$x = 7(y + 3)$

$x = 7y + 21$

3. Поменяем местами $x$ и $y$:

$y = 7x + 21$

Обратная функция $f^{-1}(x) = 7x + 21$.

Сравнивая $f^{-1}(x)$ и $g(x)$, видим, что они не совпадают, так как $7x + 21 \neq 7x + 3$.

Ответ: нет.