Номер 10.1, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.1. К заданной функции $f(x)$ найдите обратную функцию и постройте их графики в одной координатной плоскости:

1) $y = 3x - 7;$

2) $y = 2 - 3x;$

3) $y = 2x + 1;$

4) $y = 3 - 2x.$

1) Дана функция $f(x) = 3x - 7$.

Для нахождения обратной функции $g(x)$ необходимо в уравнении $y = 3x - 7$ выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Или, что то же самое, сначала поменять переменные $x$ и $y$ местами, а затем выразить $y$.

$x = 3y - 7$

$3y = x + 7$

$y = \frac{x + 7}{3}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

Для построения графиков исходной и обратной функций, которые являются прямыми, найдём по две точки для каждой.

Для графика $y = 3x - 7$:

- при $x=2$, $y = 3 \cdot 2 - 7 = -1$. Точка $(2, -1)$.

- при $x=3$, $y = 3 \cdot 3 - 7 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Для графика $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$:

- при $x=-1$, $y = \frac{-1 + 7}{3} = 2$. Точка $(-1, 2)$.

- при $x=2$, $y = \frac{2 + 7}{3} = 3$. Точка $(2, 3)$.

Проводим прямую через найденные точки для каждой функции. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(2, -1), (3, 2)$ для исходной функции и $(-1, 2), (2, 3)$ для обратной.

2) Дана функция $f(x) = 2 - 3x$.

Найдём обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:

$x = 2 - 3y$

$3y = 2 - x$

$y = \frac{2 - x}{3}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$.

Для построения графиков найдём по две точки для каждой прямой.

Для графика $y = 2 - 3x$:

- при $x=0$, $y = 2 - 3 \cdot 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.

- при $x=1$, $y = 2 - 3 \cdot 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Для графика $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$:

- при $x=2$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{2}{3} = 0$. Точка $(2, 0)$.

- при $x=-1$, $y = -\frac{1}{3}(-1) + \frac{2}{3} = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Проводим прямую через найденные точки для каждой функции. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(0, 2), (1, -1)$ для исходной функции и $(2, 0), (-1, 1)$ для обратной.

3) Дана функция $f(x) = 2x + 1$.

Найдём обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:

$x = 2y + 1$

$2y = x - 1$

$y = \frac{x - 1}{2}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

Для построения графиков найдём по две точки для каждой прямой.

Для графика $y = 2x + 1$:

- при $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

- при $x=1$, $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Точка $(1, 3)$.

Для графика $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$:

- при $x=1$, $y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0$. Точка $(1, 0)$.

- при $x=3$, $y = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} = 1$. Точка $(3, 1)$.

Проводим прямую через найденные точки для каждой функции. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(0, 1), (1, 3)$ для исходной функции и $(1, 0), (3, 1)$ для обратной.

4) Дана функция $f(x) = 3 - 2x$.

Найдём обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:

$x = 3 - 2y$

$2y = 3 - x$

$y = \frac{3 - x}{2}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

Для построения графиков найдём по две точки для каждой прямой.

Для графика $y = 3 - 2x$:

- при $x=0$, $y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.

- при $x=1$, $y = 3 - 2 \cdot 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Для графика $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$:

- при $x=3$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{3}{2} = 0$. Точка $(3, 0)$.

- при $x=1$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} = 1$. Точка $(1, 1)$.

Точка $(1, 1)$ является общей для обоих графиков и лежит на оси симметрии $y=x$. Проводим прямую через найденные точки для каждой функции.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(0, 3), (1, 1)$ для исходной функции и $(3, 0), (1, 1)$ для обратной.