Номер 9.15, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.15. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x^4 + 4x$ возрастает на множестве $[0; +\infty)$;

2) $f(x) = -x^3 - 3x$ убывает на множестве $(-\infty; +\infty)$;

3) $f(x) = x^5 + 2x$ возрастает на множестве $R$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^4 + 4x$ возрастает на множестве $[0; +\infty)$, необходимо найти ее производную и определить знак этой производной на указанном промежутке. Если производная неотрицательна, функция возрастает.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 4x)' = 4x^3 + 4$.

Теперь определим знак производной на множестве $[0; +\infty)$. Для любого $x$ из этого промежутка выполняется неравенство $x \ge 0$.

Следовательно:

$x^3 \ge 0$

$4x^3 \ge 0$

$4x^3 + 4 \ge 4$

Таким образом, $f'(x) \ge 4$ для всех $x \in [0; +\infty)$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго положительна на множестве $[0; +\infty)$, функция $f(x)$ возрастает на этом множестве, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -x^3 - 3x$ убывает на множестве $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную и определим ее знак. Если производная неположительна, функция убывает.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^3 - 3x)' = -3x^2 - 3$.

Определим знак производной на множестве всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $x$ значение $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

Отсюда следует:

$-3x^2 \le 0$

$-3x^2 - 3 \le -3$

Таким образом, $f'(x) \le -3$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго отрицательна на множестве $(-\infty; +\infty)$, функция $f(x)$ убывает на этом множестве, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^5 + 2x$ возрастает на множестве $R$, найдем ее производную и определим ее знак.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + 2x)' = 5x^4 + 2$.

Определим знак производной на множестве всех действительных чисел $R$. Для любого действительного числа $x$ значение $x^4$ является неотрицательным, поскольку показатель степени четный, то есть $x^4 \ge 0$.

Отсюда следует:

$5x^4 \ge 0$

$5x^4 + 2 \ge 2$

Таким образом, $f'(x) \ge 2$ для всех $x \in R$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго положительна на множестве $R$, функция $f(x)$ возрастает на этом множестве, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.