Задания, страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Для каждой ли функции можно составить обратную функцию?

Какими (возрастающими или убывающими) являются графики взаимно-обратных функций $y = x^2$, где $x \ge 0$, и $y = \sqrt{x}$?

Постройте график функции $y = 4 - 2x$ и график обратной для нее функции. Являются ли эти функции убывающими?

Для каждой ли функции можно составить обратную функцию?

Нет, обратную функцию можно составить не для каждой функции. Для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы исходная функция была обратимой. Это означает, что каждому значению функции $y$ из ее области значений должно соответствовать только одно значение аргумента $x$ из области определения. Такие функции называются взаимно-однозначными.

Например, для функции $y = x^2$, определенной на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$), обратную функцию составить нельзя. Разным значениям аргумента, например $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$, соответствует одно и то же значение функции $y = 4$. Поэтому, зная $y=4$, невозможно однозначно определить $x$.

Чтобы функция была обратимой, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения, то есть либо строго возрастающей, либо строго убывающей.

Ответ: Нет, обратную функцию можно составить только для обратимых (взаимно-однозначных) функций.

Какими (возрастающими или убывающими) являются графики взаимно-обратных функций $y = x^2$, где $x \ge 0$, и $y = \sqrt{x}$?

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на промежутке $x \ge 0$. Чтобы определить, является ли она возрастающей или убывающей, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $0 \le x_1 < x_2$. Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$. Сравним их: $y_2 - y_1 = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$. Так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$, то $x_2 + x_1 > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $y_2 - y_1 > 0$, что означает $y_2 > y_1$. Таким образом, функция $y = x^2$ при $x \ge 0$ является возрастающей.

Теперь рассмотрим обратную ей функцию $y = \sqrt{x}$. Ее область определения $x \ge 0$. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из этой области, такие что $0 \le x_1 < x_2$. Соответствующие значения функции: $y_1 = \sqrt{x_1}$ и $y_2 = \sqrt{x_2}$. Так как для неотрицательных чисел из $x_1 < x_2$ следует $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$, то $y_1 < y_2$. Следовательно, функция $y = \sqrt{x}$ также является возрастающей.

Ответ: Обе функции являются возрастающими.

Постройте график функции $y = 4 - 2x$ и график обратной для нее функции. Являются ли эти функции убывающими?

1. Исходная функция $y = 4 - 2x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Для построения графика достаточно найти две точки. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = 4 - 2 \cdot 0 = 4$. Точка (0, 4).
• При $y = 0$, $0 = 4 - 2x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Точка (2, 0).

График функции — это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (2, 0).

2. Обратная функция.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ в уравнении $y = 4 - 2x$:

$2x = 4 - y$

$x = \frac{4 - y}{2}$

$x = 2 - \frac{1}{2}y$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить стандартный вид функции: $y = 2 - \frac{1}{2}x$.

Обратная функция: $y = -\frac{1}{2}x + 2$.

3. График обратной функции $y = -\frac{1}{2}x + 2$.

Это также линейная функция с коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, эта функция тоже является убывающей. Для построения графика найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = 2 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 2$. Точка (0, 2).
• При $y = 0$, $0 = 2 - \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{1}{2}x = 2 \Rightarrow x = 4$. Точка (4, 0).

График обратной функции — это прямая, проходящая через точки (0, 2) и (4, 0). Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

4. Вывод.

Обе функции, $y = 4 - 2x$ и $y = -\frac{1}{2}x + 2$, являются линейными с отрицательными угловыми коэффициентами ($-2$ и $-0.5$ соответственно), следовательно, обе функции являются убывающими на всей области определения.

Ответ: Да, обе функции являются убывающими.