Номер 10.6, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.6. Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно-обратных функций:

1) $y = 5x + 2;$

2) $y = \frac{1}{3}x - 4;$

3) $y = \frac{3}{x-1};$

4) $y = \frac{2}{x+4}.$

1) Дана функция $y = 5x + 2$.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$x = 5y + 2$

Теперь выразим $y$ из этого уравнения, чтобы получить функцию $y$ от $x$:

$5y = x - 2$

$y = \frac{x-2}{5}$ или $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$.

Это и есть искомая обратная функция.

Для построения графиков на одном чертеже, построим графики функций $y = 5x + 2$ и $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$. Оба графика являются прямыми линиями. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Для прямой $y = 5x + 2$:

при $x=0$, $y=2$. Точка $(0, 2)$.

при $x=-1$, $y=5(-1)+2 = -3$. Точка $(-1, -3)$.

Для прямой $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$:

при $x=2$, $y=\frac{1}{5}(2)-\frac{2}{5}=0$. Точка $(2, 0)$.

при $x=-3$, $y=\frac{1}{5}(-3)-\frac{2}{5}=-1$. Точка $(-3, -1)$.

Построив эти две прямые на координатной плоскости, а также прямую $y=x$, можно увидеть, что графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$. Графики функций $y=5x+2$ и $y=\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}$ - это прямые, проходящие через указанные выше точки и симметричные относительно прямой $y=x$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1}{3}y - 4$.

Выразим $y$:

$x + 4 = \frac{1}{3}y$

$y = 3(x+4)$

$y = 3x + 12$.

Это обратная функция.

Для построения графиков функций $y = \frac{1}{3}x - 4$ и $y = 3x + 12$ найдем по две точки для каждой прямой.

Для $y = \frac{1}{3}x - 4$:

при $x=0$, $y=-4$. Точка $(0, -4)$.

при $x=3$, $y=\frac{1}{3}(3)-4 = -3$. Точка $(3, -3)$.

Для $y = 3x + 12$:

при $x=-4$, $y=3(-4)+12=0$. Точка $(-4, 0)$.

при $x=-3$, $y=3(-3)+12=3$. Точка $(-3, 3)$.

Построив эти две прямые и прямую $y=x$ на одной координатной плоскости, можно убедиться, что графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 3x + 12$. Графики функций $y=\frac{1}{3}x-4$ и $y=3x+12$ - это прямые, проходящие через указанные выше точки и симметричные относительно прямой $y=x$.

3) Дана функция $y = \frac{3}{x-1}$.

Найдем обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = \frac{3}{y-1}$.

Выразим $y$. Область определения исходной функции $x \neq 1$, область значений $y \neq 0$. Для обратной функции они поменяются местами. Выражаем $y$ при $x \neq 0$:

$x(y-1) = 3$

$y-1 = \frac{3}{x}$

$y = \frac{3}{x} + 1$.

Это обратная функция.

Для построения графиков $y = \frac{3}{x-1}$ и $y = \frac{3}{x} + 1$ заметим, что оба являются гиперболами.

График $y = \frac{3}{x-1}$ получается из графика $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо. Его асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=0$.

Несколько точек для $y = \frac{3}{x-1}$: $(2, 3)$, $(4, 1)$, $(0, -3)$, $(-2, -1)$.

График $y = \frac{3}{x} + 1$ получается из графика $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 1 единицу вверх. Его асимптоты: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=1$.

Несколько точек для $y = \frac{3}{x} + 1$: $(3, 2)$, $(1, 4)$, $(-3, 0)$, $(-1, -2)$.

Нанеся точки и асимптоты на координатную плоскость и проведя через них ветви гипербол, мы увидим, что графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{3}{x} + 1$. Графики являются гиперболами, симметричными относительно прямой $y=x$.

4) Дана функция $y = \frac{2}{x+4}$.

Находим обратную функцию, поменяв $x$ и $y$: $x = \frac{2}{y+4}$.

Выражаем $y$. Область определения исходной функции $x \neq -4$, область значений $y \neq 0$. Для обратной функции $x \neq 0$, $y \neq -4$. Выражаем $y$:

$x(y+4) = 2$

$y+4 = \frac{2}{x}$

$y = \frac{2}{x} - 4$.

Это обратная функция.

Строим графики функций $y = \frac{2}{x+4}$ и $y = \frac{2}{x} - 4$. Оба графика - гиперболы.

График $y = \frac{2}{x+4}$ это график $y=\frac{2}{x}$, сдвинутый на 4 единицы влево. Асимптоты: $x=-4$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).

Несколько точек для $y = \frac{2}{x+4}$: $(-3, 2)$, $(-2, 1)$, $(0, 0.5)$, $(-5, -2)$.

График $y = \frac{2}{x} - 4$ это график $y=\frac{2}{x}$, сдвинутый на 4 единицы вниз. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-4$ (горизонтальная).

Несколько точек для $y = \frac{2}{x} - 4$: $(2, -3)$, $(1, -2)$, $(0.5, 0)$, $(-2, -5)$.

Построив графики на одном чертеже, мы видим их симметрию относительно прямой $y=x$. Асимптоты одной функции также симметричны асимптотам другой относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{2}{x} - 4$. Графики являются гиперболами, симметричными относительно прямой $y=x$.