Номер 10.4, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.4. Для функции, заданной табличным способом, запишите ее область определения и выясните, имеет ли эта функция в своей области определения обратную функцию (табл. 10.1, 10.2). Если да, то постройте график обратной функции.

Таблица 10.1

x 1 2 3 5 8 9

y 3 4 5 7 10 11

Таблица 10.2

x 1 2 3 5 8 9

y 4 5 6 7 5 7

Таблица 10.1

Для функции, заданной таблицей 10.1, определим ее свойства.

1. Область определения.

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Согласно таблице, это множество: $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$.

2. Существование обратной функции.

Функция имеет обратную на своей области определения, если она является взаимно-однозначной (инъективной). Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует уникальное значение функции $y$, и наоборот. Для функции, заданной таблично, это условие выполняется, если все значения $y$ в таблице различны.

Рассмотрим значения $y$ из таблицы: $\{3, 4, 5, 7, 10, 11\}$.

Все эти значения уникальны. Следовательно, функция является взаимно-однозначной, и для нее существует обратная функция.

3. Построение графика обратной функции.

Обратная функция $y^{-1}$ получается путем замены $x$ на $y$ и $y$ на $x$ в каждой паре значений исходной функции.Исходные точки графика: $(1, 3), (2, 4), (3, 5), (5, 7), (8, 10), (9, 11)$.

Точки графика обратной функции: $(3, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 5), (10, 8), (11, 9)$.

График обратной функции представляет собой набор этих точек на координатной плоскости.

Ответ: Область определения $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. Обратная функция существует. Ее график — это множество точек с координатами: (3, 1), (4, 2), (5, 3), (7, 5), (10, 8), (11, 9).

Таблица 10.2

Для функции, заданной таблицей 10.2, определим ее свойства.

1. Область определения.

Область определения функции $D(y)$ — это множество всех значений аргумента $x$. Согласно таблице: $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$.

2. Существование обратной функции.

Проверим, является ли функция взаимно-однозначной. Для этого все значения $y$ должны быть различны.

Рассмотрим значения $y$ из таблицы: $\{4, 5, 6, 7, 5, 7\}$.

В этом множестве есть повторяющиеся значения:

• Значению $y=5$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=2$ и $x=8$.
• Значению $y=7$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=5$ и $x=9$.

Ответ: Область определения $D(y) = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. Обратная функция на данной области определения не существует.