Номер 9.10, страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.10. Начертите схематический график функции $y = f(x)$, если:

1) $y = f(x)$ возрастает на числовых промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; 4]$ и убывает на числовых промежутках $[-1; 1]$ и $[4; +\infty)$;

2) $y = f(x)$ возрастает на числовых промежутках $(-\infty; 2]$ и $[4; 6]$ и убывает на числовых промежутках $[2; 4]$ и $[6; +\infty)$;

3) $y = f(x)$ убывает на числовых промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 5]$ и возрастает на числовых промежутках $[1; 2]$ и $[5; +\infty)$;

4) $y = f(x)$ убывает на числовых промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; 6]$ и возрастает на числовых промежутках $[-2; 3]$ и $[6; +\infty)$.

1) Чтобы начертить схематический график функции $y = f(x)$, проанализируем её поведение на заданных промежутках. Функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; 4]$, то есть на этих интервалах её график идёт вверх. Функция убывает на $[-1; 1]$ и $[4; +\infty)$, то есть на этих интервалах её график идёт вниз. Точки, в которых меняется характер монотонности, являются точками экстремума.

• В точке $x = -1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 4$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.

Ответ: Схематический график представляет собой кривую, которая возрастает до $x=-1$ (локальный максимум), затем убывает до $x=1$ (локальный минимум), снова возрастает до $x=4$ (локальный максимум) и после этого убывает.

2) Функция $y = f(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty; 2]$ и $[4; 6]$ и убывает на промежутках $[2; 4]$ и $[6; +\infty)$. Проанализируем смену монотонности в граничных точках.

• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.
• В точке $x = 4$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума.
• В точке $x = 6$ возрастание вновь сменяется убыванием, следовательно, это ещё одна точка локального максимума.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая возрастает до $x=2$ (локальный максимум), затем убывает до $x=4$ (локальный минимум), снова возрастает до $x=6$ (локальный максимум) и после этого убывает.

3) Функция $y = f(x)$ убывает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; 5]$ и возрастает на промежутках $[1; 2]$ и $[5; +\infty)$. Определим точки экстремума.

• В точке $x = 1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка локального минимума.
• В точке $x = 2$ возрастание сменяется убыванием, значит, это точка локального максимума.
• В точке $x = 5$ убывание вновь сменяется возрастанием, что соответствует ещё одной точке локального минимума.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая убывает до $x=1$ (локальный минимум), затем возрастает до $x=2$ (локальный максимум), снова убывает до $x=5$ (локальный минимум) и после этого возрастает.

4) Функция $y = f(x)$ убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; 6]$ и возрастает на промежутках $[-2; 3]$ и $[6; +\infty)$. Найдём точки экстремума.

• В точке $x = -2$ убывание сменяется возрастанием, значит, это точка локального минимума.
• В точке $x = 3$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка локального максимума.
• В точке $x = 6$ убывание сменяется возрастанием, что соответствует ещё одной точке локального минимума.

Ответ: График функции представляет собой кривую, которая убывает до $x=-2$ (локальный минимум), затем возрастает до $x=3$ (локальный максимум), снова убывает до $x=6$ (локальный минимум) и после этого возрастает.