Номер 9.4, страница 80, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.4. Используя определение возрастания и убывания функции на множестве, докажите, что функция:

1) $y = \frac{3}{x-2}$ убывает на множестве $(-\infty 2)$;

2) $y = \frac{1}{x+3}$ возрастает на множестве $(-3; +\infty)$;

3) $y = \frac{2x}{x-1}$ убывает на множестве $(-\infty 1)$;

4) $y = \frac{3x}{3-x}$ возрастает на множестве $(3; +\infty)$.

Постройте график этой функции.

1) $y = \frac{3}{x-2}$ убывает на множестве $(-\infty; 2)$;

Согласно определению, функция $y(x)$ является убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(-\infty; 2)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек выполняются неравенства: $x_1 < 2$ и $x_2 < 2$. Рассмотрим разность значений функции в точках $x_2$ и $x_1$:

$y(x_2) - y(x_1) = \frac{3}{x_2 - 2} - \frac{3}{x_1 - 2} = \frac{3(x_1 - 2) - 3(x_2 - 2)}{(x_2 - 2)(x_1 - 2)} = \frac{3x_1 - 6 - 3x_2 + 6}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$. Следовательно, $3(x_1 - x_2) < 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 < 2$, то $x_1 - 2 < 0$. Так как $x_2 < 2$, то $x_2 - 2 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным: $(x_1 - 2)(x_2 - 2) > 0$.

Таким образом, вся дробь представляет собой отношение отрицательного числа к положительному, то есть является отрицательной: $y(x_2) - y(x_1) < 0$. Отсюда следует, что $y(x_2) < y(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 2)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, функция убывает на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

2) $y = \frac{1}{x+3}$ возрастает на множестве $(-3; +\infty)$;

Согласно определению, функция $y(x)$ является возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(-3; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек выполняются неравенства: $x_1 > -3$ и $x_2 > -3$. Рассмотрим разность значений функции в точках $x_2$ и $x_1$:

$y(x_2) - y(x_1) = \frac{1}{x_2 + 3} - \frac{1}{x_1 + 3} = \frac{(x_1 + 3) - (x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} = \frac{x_1 - x_2}{(x_1 + 3)(x_2 + 3)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 > -3$, то $x_1 + 3 > 0$. Так как $x_2 > -3$, то $x_2 + 3 > 0$. Произведение двух положительных чисел является положительным: $(x_1 + 3)(x_2 + 3) > 0$.

Таким образом, вся дробь представляет собой отношение отрицательного числа к положительному, то есть является отрицательной: $y(x_2) - y(x_1) < 0$. Отсюда следует, что $y(x_2) < y(x_1)$.

Поскольку для любых $x_1, x_2 \in (-3; +\infty)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, функция является убывающей на данном множестве, а не возрастающей, как указано в условии.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Функция $y = \frac{1}{x+3}$ убывает на множестве $(-3; +\infty)$.

3) $y = \frac{2x}{x-1}$ убывает на множестве $(-\infty; 1)$;

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{2x}{x-1} = \frac{2(x-1) + 2}{x-1} = 2 + \frac{2}{x-1}$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(-\infty; 1)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек $x_1 - 1 < 0$ и $x_2 - 1 < 0$. Рассмотрим разность значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (2 + \frac{2}{x_2 - 1}) - (2 + \frac{2}{x_1 - 1}) = \frac{2}{x_2 - 1} - \frac{2}{x_1 - 1} = \frac{2(x_1 - 1) - 2(x_2 - 1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} = \frac{2(x_1 - x_2)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_1 - x_2 < 0$. Следовательно, $2(x_1 - x_2) < 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 < 1$ и $x_2 < 1$, то $x_1 - 1 < 0$ и $x_2 - 1 < 0$. Их произведение положительно: $(x_1 - 1)(x_2 - 1) > 0$.

Вся дробь отрицательна: $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что означает $y(x_2) < y(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in (-\infty; 1)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) > y(x_2)$, функция убывает на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

4) $y = \frac{3x}{3-x}$ возрастает на множестве $(3; +\infty)$. Постройте график этой функции.

Доказательство возрастания:

Преобразуем функцию: $y = \frac{3x}{3-x} = \frac{-3(-x)}{3-x} = \frac{-3(3-x-3)}{3-x} = \frac{-3(3-x)+9}{3-x} = -3 + \frac{9}{3-x} = -3 - \frac{9}{x-3}$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из интервала $(3; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$. Для этих точек $x_1 - 3 > 0$ и $x_2 - 3 > 0$. Рассмотрим разность значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (-3 - \frac{9}{x_2 - 3}) - (-3 - \frac{9}{x_1 - 3}) = \frac{9}{x_1 - 3} - \frac{9}{x_2 - 3} = \frac{9(x_2 - 3) - 9(x_1 - 3)}{(x_1 - 3)(x_2 - 3)} = \frac{9(x_2 - x_1)}{(x_1 - 3)(x_2 - 3)}$.

Оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Следовательно, $9(x_2 - x_1) > 0$.

2. Знаменатель: так как $x_1 > 3$ и $x_2 > 3$, то $x_1 - 3 > 0$ и $x_2 - 3 > 0$. Их произведение положительно: $(x_1 - 3)(x_2 - 3) > 0$.

Вся дробь положительна: $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что означает $y(x_2) > y(x_1)$.

Так как для любых $x_1, x_2 \in (3; +\infty)$ из условия $x_1 < x_2$ следует $y(x_1) < y(x_2)$, функция возрастает на данном множестве. Утверждение доказано.

Построение графика функции $y = \frac{3x}{3-x}$:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Функция представляет собой гиперболу. Из преобразованного вида $y = -3 - \frac{9}{x-3}$ видно, что ее асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x = 3$.

- Горизонтальная асимптота: $y = -3$.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = \frac{3 \cdot 0}{3-0} = 0$. Точка $(0; 0)$.

- С осью OX (y=0): $0 = \frac{3x}{3-x} \implies 3x=0 \implies x=0$. Точка $(0; 0)$.

4. Вычислим несколько дополнительных точек:

- при $x=2, y = \frac{3 \cdot 2}{3-2} = 6$. Точка $(2; 6)$.

- при $x=4, y = \frac{3 \cdot 4}{3-4} = -12$. Точка $(4; -12)$.

- при $x=6, y = \frac{3 \cdot 6}{3-6} = \frac{18}{-3} = -6$. Точка $(6; -6)$.

- при $x=-3, y = \frac{3 \cdot (-3)}{3-(-3)} = \frac{-9}{6} = -1.5$. Точка $(-3; -1.5)$.

График функции:

Ответ: Возрастание функции на множестве $(3; +\infty)$ доказано. График функции построен.