Номер 8.15, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.15. Упростите выражение:

1) $2\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\sqrt{3}\sin\alpha$;

2) $\frac{1}{2}\cos\alpha-\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$;

3) $\sqrt{2}\sin\alpha-2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$;

4) $\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$.

1) Для упрощения выражения $2\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)-\sqrt{3}\sin\alpha$ воспользуемся формулой синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Раскроем скобки в члене $2\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)$:

$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha = (2 \cdot \frac{1}{2}\cos\alpha + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2) Для упрощения выражения $\frac{1}{2}\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)$ воспользуемся формулой косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$.

Раскроем $\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha)$:

$\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\cos(\frac{\pi}{3}+\alpha) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{1}{2}\cos\alpha - \left(\frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt{2}\sin\alpha - 2\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})$ воспользуемся формулой синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

Раскроем $\sin(\alpha-\frac{\pi}{4})$:

$\sin(\alpha-\frac{\pi}{4}) = \sin\alpha\cos\frac{\pi}{4} - \cos\alpha\sin\frac{\pi}{4}$.

Зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\sin(\alpha-\frac{\pi}{4}) = \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{2}\sin\alpha - 2\left(\sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\sin\alpha - (2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha) = \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha + \sqrt{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha$.

Ответ: $\sqrt{2}\cos\alpha$.

4) Для упрощения выражения $\cos(\alpha-\frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha$ воспользуемся формулой косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

Раскроем $\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})$:

$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6}) = \cos\alpha\cos\frac{\pi}{6} + \sin\alpha\sin\frac{\pi}{6}$.

Зная, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6}) = \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\left(\cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\alpha \cdot \frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin\alpha$.