Номер 8.11, страница 75, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.11. На рисунке 8.3 построен график функции $f(x)$. Запишите аналитическую формулу этой функции, если ее график проходит через точку $A(2; 1)$.

Рис. 8.3

Для того чтобы записать аналитическую формулу функции $f(x)$, изображенной на рисунке, необходимо проанализировать ее график.

1. Определение типа функции и ее асимптот.

График функции является гиперболой, которая смещена относительно начала координат. Общий вид такой функции: $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$.

Из графика видно, что:

- Вертикальная асимптота — это прямая, к которой график приближается, но не пересекает. В данном случае это ось ординат ($y$), ее уравнение $x=0$. Следовательно, параметр сдвига по горизонтали $a=0$.

- Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой график стремится при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. На рисунке видно, что это прямая $y=1$. Следовательно, параметр сдвига по вертикали $b=1$.

Таким образом, формула функции имеет вид $f(x) = \frac{k}{x} + 1$.

2. Нахождение коэффициента $k$.

Для нахождения коэффициента $k$ нужно использовать координаты точки, принадлежащей графику. В условии задачи указано, что график проходит через точку $A(2; 1)$. Однако, если мы подставим эти координаты в нашу формулу, получим:

$1 = \frac{k}{2} + 1$

$\frac{k}{2} = 0$

$k=0$

При $k=0$ функция принимает вид $f(x) = 1$, что является уравнением прямой линии и не соответствует графику на рисунке. Это означает, что в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, так как точка $A(2; 1)$ лежит на горизонтальной асимптоте, а не на самом графике.

Поэтому найдем $k$, используя другую точку, которая хорошо видна на графике. Например, график явно проходит через точку $(1; 0)$. Подставим ее координаты в формулу:

$0 = \frac{k}{1} + 1$

$k = -1$

3. Запись итоговой формулы и проверка.

Подставив найденные значения $a=0$, $b=1$ и $k=-1$ в общую формулу, получаем:

$f(x) = \frac{-1}{x} + 1$, что можно записать как $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$.

Для проверки можно взять еще одну точку с графика, например, $(-1; 2)$.

$f(-1) = 1 - \frac{1}{-1} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Значение совпадает с точкой на графике, следовательно, формула найдена верно.

Ответ: $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$