Номер 8.16, страница 76, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.16. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\cos^2 \frac{3\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{3\pi}{8}};$

2) $\frac{6\operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} - 1;$

3) $4\sin15^\circ \cos15^\circ;$

4) $8\sin15^\circ \cos15^\circ \cos30^\circ;$

5) $\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ;$

6) $\sin^2 15^\circ - \sin^2 75^\circ.$

1) Для решения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Подставим это в знаменатель нашего выражения:

$\frac{\cos^2\frac{3\pi}{8}}{1-\sin^2\frac{3\pi}{8}} = \frac{\cos^2\frac{3\pi}{8}}{\cos^2\frac{3\pi}{8}}$.

Так как $\cos\frac{3\pi}{8} \neq 0$, мы можем сократить дробь.

$\frac{\cos^2\frac{3\pi}{8}}{\cos^2\frac{3\pi}{8}} = 1$.

Ответ: 1

2) Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$.

Преобразуем первую часть выражения:

$\frac{6\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{12}} = 3 \cdot \frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}}{1-\operatorname{tg}^2\frac{\pi}{12}} = 3\operatorname{tg}(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 3\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$3\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Теперь вычтем 1, как указано в исходном выражении:

$\sqrt{3} - 1$.

Ответ: $\sqrt{3}-1$

3) Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем данное выражение:

$4\sin15^\circ\cos15^\circ = 2 \cdot (2\sin15^\circ\cos15^\circ)$.

Применяя формулу, получаем:

$2 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2\sin(30^\circ)$.

Значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

4) Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ дважды.

Сначала преобразуем часть выражения:

$8\sin15^\circ\cos15^\circ\cos30^\circ = 4 \cdot (2\sin15^\circ\cos15^\circ) \cdot \cos30^\circ = 4\sin(2 \cdot 15^\circ)\cos30^\circ = 4\sin30^\circ\cos30^\circ$.

Теперь снова применим формулу двойного угла:

$4\sin30^\circ\cos30^\circ = 2 \cdot (2\sin30^\circ\cos30^\circ) = 2\sin(2 \cdot 30^\circ) = 2\sin60^\circ$.

Значение $\sin60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

5) Воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Представим $\cos75^\circ$ как $\cos(90^\circ - 15^\circ) = \sin15^\circ$.

Тогда выражение $\cos^215^\circ - \cos^275^\circ$ превращается в $\cos^215^\circ - \sin^215^\circ$.

Это формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применяя ее, получаем:

$\cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.

Значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6) Воспользуемся формулой приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.

Представим $\sin75^\circ$ как $\sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos15^\circ$.

Тогда выражение $\sin^215^\circ - \sin^275^\circ$ превращается в $\sin^215^\circ - \cos^215^\circ$.

Вынесем минус за скобки: $-(\cos^215^\circ - \sin^215^\circ)$.

В скобках находится формула косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применяя ее, получаем:

$-\cos(2 \cdot 15^\circ) = -\cos(30^\circ)$.

Значение $\cos(30^\circ)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, результат равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$