Номер 7.48, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.48. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\cos 60^\circ - \sin 225^\circ + \tan 150^\circ - \cos^2 300^\circ$;

2) $\sin^2 160^\circ + \cos^2 160^\circ - \sin 135^\circ + \tan 240^\circ - \sin^2 300^\circ$.

1) Для нахождения значения выражения $\cos60^\circ - \sin225^\circ + \text{tg}150^\circ - \cos^3300^\circ$ вычислим значение каждого члена по отдельности, используя формулы приведения и табличные значения тригонометрических функций.

- $\cos60^\circ$ — это табличное значение: $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$.

- Для $\sin225^\circ$ используем формулу приведения. Угол $225^\circ$ находится в III четверти, где синус отрицателен.

$\sin225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Для $\text{tg}150^\circ$ используем формулу приведения. Угол $150^\circ$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен.

$\text{tg}150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg}30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

- Для $\cos^3300^\circ$ сначала найдем $\cos300^\circ$. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен.

$\cos300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos60^\circ = \frac{1}{2}$.

Теперь возводим значение в куб: $\cos^3300^\circ = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$\cos60^\circ - \sin225^\circ + \text{tg}150^\circ - \cos^3300^\circ = \frac{1}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{3}) - \frac{1}{8}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{8} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = (\frac{4}{8} - \frac{1}{8}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{8} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

2) Для нахождения значения выражения $\sin^2160^\circ + \cos^2160^\circ - \sin135^\circ + \text{tg}240^\circ - \sin^2300^\circ$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулами приведения.

- Первые два члена представляют собой основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Следовательно, $\sin^2160^\circ + \cos^2160^\circ = 1$.

Выражение упрощается до: $1 - \sin135^\circ + \text{tg}240^\circ - \sin^2300^\circ$.

Теперь вычислим значения оставшихся членов:

- Для $\sin135^\circ$ используем формулу приведения. Угол $135^\circ$ находится во II четверти, где синус положителен.

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

- Для $\text{tg}240^\circ$ используем формулу приведения. Угол $240^\circ$ находится в III четверти, где тангенс положителен.

$\text{tg}240^\circ = \text{tg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{tg}60^\circ = \sqrt{3}$.

- Для $\sin^2300^\circ$ сначала найдем $\sin300^\circ$. Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где синус отрицателен.

$\sin300^\circ = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь возводим значение в квадрат: $\sin^2300^\circ = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим найденные значения в упрощенное выражение:

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \frac{3}{4}$

Сгруппируем и упростим рациональные члены:

$(1 - \frac{3}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}$.

Ответ: $\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}$