Номер 7.41, страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*7.41. Функция $y = f(x)$ является нечетной. Известно, что:

1) $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 0$;

2) $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$;

3) $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$.

Постройте график функции $y = f(x)$.

Задайте данную функцию одной формулой.

Поскольку функция $y = f(x)$ является нечетной, для нее выполняется свойство $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит ему. Мы будем использовать это свойство для построения графиков и нахождения формул.

1) Дано, что $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетности, получаем:

$f(x) = -f(-x)$

Так как $-x > 0$, мы можем применить заданную формулу для $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{-x}$.

Следовательно, при $x < 0$ функция имеет вид: $f(x) = -\sqrt{-x}$.

Для нечетной функции, если $0$ входит в область определения, то $f(0)=0$. Проверим: $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} = 0$, поэтому мы можем доопределить функцию в нуле: $f(0)=0$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & x < 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и направленная вправо и вверх.

2. При $x < 0$ график функции $y = -\sqrt{-x}$ является симметричным отражением графика $y = \sqrt{x}$ относительно начала координат. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат и направленная влево и вниз.

Задание одной формулой:

Чтобы объединить две части в одну формулу, можно использовать функцию знака $sgn(x)$ и модуль $|x|$.

При $x > 0$: $f(x) = \sqrt{x} = 1 \cdot \sqrt{|x|} = sgn(x) \sqrt{|x|}$.

При $x < 0$: $f(x) = -\sqrt{-x} = -1 \cdot \sqrt{|x|} = sgn(x) \sqrt{|x|}$.

При $x = 0$: $f(0) = 0$, и $sgn(0) \sqrt{|0|} = 0$.

Таким образом, функция может быть задана одной формулой.

Ответ: $f(x) = sgn(x)\sqrt{|x|}$.

2) Дано, что $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечетности:

$f(x) = -f(-x)$

Подставляем $-x$ в заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$.

Следовательно, при $x < 0$ функция имеет вид: $f(x) = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 4x, & x < 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. При $x \ge 0$ строим график функции $y = x^2 - 4x$. Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Значение в вершине $y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = -4$. Точка вершины $(2, -4)$. Корни уравнения $x(x-4)=0$ находятся в точках $x=0$ и $x=4$. Строим часть параболы для $x \ge 0$.

2. График для $x < 0$ симметричен построенной части относительно начала координат. Вершина $(2, -4)$ отобразится в точку $(-2, 4)$, а корень $(4, 0)$ в корень $(-4, 0)$. График при $x < 0$ описывается функцией $y = -x^2 - 4x$, что является параболой с ветвями вниз и вершиной в точке $(-2, 4)$.

Задание одной формулой:

Для объединения формул используем свойство модуля: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Рассмотрим выражение $x|x| - 4x$.

При $x \ge 0$: $x(x) - 4x = x^2 - 4x$.

При $x < 0$: $x(-x) - 4x = -x^2 - 4x$.

Оба случая совпадают с нашей кусочно-заданной функцией.

Ответ: $f(x) = x|x| - 4x$.

3) Дано, что $f(x) = x^2 + 2x$ при $x \le 0$.

Найдем вид функции при $x > 0$. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Используя свойство нечетности:

$f(x) = -f(-x)$

Подставляем $-x$ в заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$.

Следовательно, при $x > 0$ функция имеет вид: $f(x) = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$.

Таким образом, функция задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x > 0 \\ x^2 + 2x, & x \le 0 \end{cases}$

Построение графика:

1. При $x \le 0$ строим график функции $y = x^2 + 2x$. Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. Значение в вершине $y_v = (-1)^2 + 2(-1) = -1$. Точка вершины $(-1, -1)$. Корни уравнения $x(x+2)=0$ находятся в точках $x=0$ и $x=-2$. Строим часть параболы для $x \le 0$.

2. График для $x > 0$ симметричен построенной части относительно начала координат. Вершина $(-1, -1)$ отобразится в точку $(1, 1)$, а корень $(-2, 0)$ в корень $(2, 0)$. График при $x > 0$ описывается функцией $y = -x^2 + 2x$, что является параболой с ветвями вниз и вершиной в точке $(1, 1)$.

Задание одной формулой:

Рассмотрим выражение $-x|x| + 2x$.

При $x > 0$: $-x(x) + 2x = -x^2 + 2x$.

При $x \le 0$: $-x(-x) + 2x = x^2 + 2x$.

Оба случая совпадают с нашей кусочно-заданной функцией.

Ответ: $f(x) = -x|x| + 2x$.