Номер 7.40, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.40. Дана функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = \begin{cases} 4 + x^2, \text{ если } x < 0, \\ g(x), \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Составьте выражение $g(x)$ так, чтобы $y = f(x)$ была четной.

2) $f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, \text{ если } x > 0, \\ g(x), \text{ если } x < 0. \end{cases}$

Составьте выражение $g(x)$ так, чтобы $y = f(x)$ была нечетной.

1) По определению, функция $y=f(x)$ является четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат. В данном случае функция определена на всей числовой оси, что удовлетворяет этому условию.

Функция задана как $f(x) = \begin{cases} 4 + x^2, & \text{если } x < 0 \\ g(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Чтобы функция была четной, для любого $x > 0$ должно выполняться равенство $f(x) = f(-x)$.

Для $x > 0$, значение функции равно $f(x) = g(x)$.

Для соответствующего ему отрицательного значения $-x$ (которое будет меньше нуля), значение функции равно $f(-x) = 4 + (-x)^2 = 4 + x^2$.

Приравнивая эти два выражения, получаем условие для $g(x)$:

$g(x) = 4 + x^2$.

Это выражение должно быть справедливо для всех $x \ge 0$, на которых определена функция $g(x)$. Проверим точку $x = 0$. Условие $f(0) = f(-0)$ выполняется всегда. Из нашего выражения $g(0) = 4 + 0^2 = 4$, что определяет значение функции в нуле.

Таким образом, чтобы функция $y=f(x)$ была четной, необходимо, чтобы $g(x) = 4 + x^2$ при $x \ge 0$.

Ответ: $g(x) = 4 + x^2$.

2) По определению, функция $y=f(x)$ является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат. В данном случае функция определена для $x > 0$ и $x < 0$, что является симметричной областью.

Функция задана как $f(x) = \begin{cases} 5 - x^2, & \text{если } x > 0 \\ g(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Чтобы функция была нечетной, для любого $x < 0$ должно выполняться равенство $f(x) = -f(-x)$.

Для $x < 0$, значение функции равно $f(x) = g(x)$.

Для соответствующего ему положительного значения $-x$ (которое будет больше нуля), значение функции равно $f(-x) = 5 - (-x)^2 = 5 - x^2$.

Тогда $-f(-x) = -(5 - x^2) = x^2 - 5$.

Приравнивая выражения для $f(x)$ и $-f(-x)$, получаем условие для $g(x)$:

$g(x) = x^2 - 5$.

Это выражение должно быть справедливо для всех $x < 0$, на которых определена функция $g(x)$.

Таким образом, чтобы функция $y=f(x)$ была нечетной, необходимо, чтобы $g(x) = x^2 - 5$ при $x < 0$.

Ответ: $g(x) = x^2 - 5$.