Номер 7.33, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.33. Постройте график и запишите точки экстремума функции:

1) $y = |x^2-4x-1|;$

2) $y = |x^2-2x+3|;$

3) $y = |2x^2-6x+3|;$

4) $y = |3x^2-6x-1|.$

1) y = |x² - 4x - 1|

Чтобы построить график функции $y = |x^2 - 4x - 1|$, сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 4x - 1$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 ($1 > 0$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

$x_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

$y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.

Вершина находится в точке $(2, -5)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (нули функции), решив уравнение $x^2 - 4x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (4 \pm \sqrt{20}) / 2 = (4 \pm 2\sqrt{5}) / 2 = 2 \pm \sqrt{5}$.

График функции $y = |x^2 - 4x - 1|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4x - 1$ следующим образом: часть параболы, расположенная ниже оси Ox (где $y < 0$, то есть для $x \in (2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$), симметрично отражается относительно оси Ox. Часть параболы, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

В результате этого преобразования вершина параболы $(2, -5)$ переходит в точку $(2, 5)$, которая становится точкой локального максимума. Точки пересечения с осью Ox, $x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$, становятся точками локального минимума, в которых значение функции равно 0.

Точки экстремума:

Точка максимума: $x_{max} = 2$.

Точки минимума: $x_{min1} = 2 - \sqrt{5}$, $x_{min2} = 2 + \sqrt{5}$.

Ответ: точки минимума $x = 2 - \sqrt{5}$ и $x = 2 + \sqrt{5}$; точка максимума $x = 2$.

2) y = |x² - 2x + 3|

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 2x + 3|$. Сначала проанализируем параболу, стоящую под знаком модуля: $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

Это парабола с ветвями вверх ($a = 1 > 0$).

Найдем координаты ее вершины:

$x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.

$y_v = f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

Вершина находится в точке $(1, 2)$.

Найдем нули функции: $x^2 - 2x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку $D < 0$, у параболы нет точек пересечения с осью Ox. Так как ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, 2)$ (выше оси Ox), вся парабола лежит в верхней полуплоскости, то есть $x^2 - 2x + 3 > 0$ для всех значений $x$.

Следовательно, $|x^2 - 2x + 3| = x^2 - 2x + 3$.

График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x + 3$.

Эта парабола имеет одну точку экстремума — точку минимума в своей вершине.

Точка экстремума:

Точка минимума: $x_{min} = 1$.

Ответ: точка минимума $x = 1$.

3) y = |2x² - 6x + 3|

Чтобы построить график функции $y = |2x^2 - 6x + 3|$, построим сначала параболу $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$.

Ветви параболы направлены вверх ($a = 2 > 0$).

Найдем координаты вершины:

$x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6 / 4 = 1.5$.

$y_v = f(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5$.

Вершина находится в точке $(1.5, -1.5)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $2x^2 - 6x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (6 \pm \sqrt{12}) / (2 \cdot 2) = (6 \pm 2\sqrt{3}) / 4 = (3 \pm \sqrt{3}) / 2$.

Для построения графика $y = |2x^2 - 6x + 3|$ часть параболы $y = 2x^2 - 6x + 3$, лежащую ниже оси Ox (при $x \in ((3 - \sqrt{3}) / 2, (3 + \sqrt{3}) / 2)$), отражаем симметрично относительно оси Ox. Остальная часть графика не меняется.

Вершина параболы $(1.5, -1.5)$ переходит в точку $(1.5, 1.5)$, которая становится точкой локального максимума. Нули функции $x = (3 - \sqrt{3}) / 2$ и $x = (3 + \sqrt{3}) / 2$ становятся точками локального минимума.

Точки экстремума:

Точка максимума: $x_{max} = 1.5$.

Точки минимума: $x_{min1} = (3 - \sqrt{3}) / 2$, $x_{min2} = (3 + \sqrt{3}) / 2$.

Ответ: точки минимума $x = (3 - \sqrt{3}) / 2$ и $x = (3 + \sqrt{3}) / 2$; точка максимума $x = 1.5$.

4) y = |3x² - 6x - 1|

Построение графика функции $y = |3x^2 - 6x - 1|$ начнем с построения параболы $f(x) = 3x^2 - 6x - 1$.

Ветви параболы направлены вверх ($a = 3 > 0$).

Найдем координаты вершины:

$x_v = -(-6) / (2 \cdot 3) = 6 / 6 = 1$.

$y_v = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 1 = 3 - 6 - 1 = -4$.

Вершина находится в точке $(1, -4)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $3x^2 - 6x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 36 + 12 = 48$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = (6 \pm \sqrt{48}) / (2 \cdot 3) = (6 \pm 4\sqrt{3}) / 6 = 1 \pm (2\sqrt{3}) / 3$.

График функции $y = |3x^2 - 6x - 1|$ получается из графика параболы $y = 3x^2 - 6x - 1$ отражением части, находящейся под осью Ox, относительно этой оси. Эта часть соответствует значениям $x$ в интервале $(1 - (2\sqrt{3}) / 3, 1 + (2\sqrt{3}) / 3)$.

Вершина параболы $(1, -4)$ после отражения становится точкой $(1, 4)$ и является точкой локального максимума. Точки пересечения с осью Ox $x = 1 - (2\sqrt{3}) / 3$ и $x = 1 + (2\sqrt{3}) / 3$ становятся точками локального минимума.

Точки экстремума:

Точка максимума: $x_{max} = 1$.

Точки минимума: $x_{min1} = 1 - (2\sqrt{3}) / 3$, $x_{min2} = 1 + (2\sqrt{3}) / 3$.

Ответ: точки минимума $x = 1 - (2\sqrt{3}) / 3$ и $x = 1 + (2\sqrt{3}) / 3$; точка максимума $x = 1$.