Номер 7.27, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.27. На рисунке 7.24 изображен график функции $y = f(x)$. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = (f(x))^2$.

Рис. 7.24

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = (f(x))^2$ необходимо исследовать знак её производной. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$y' = ((f(x))^2)' = 2 \cdot f(x) \cdot f'(x)$.

Знак производной $y'$ определяет характер монотонности функции $y=(f(x))^2$. Этот знак зависит от знаков множителей $f(x)$ (значение функции) и $f'(x)$ (характер монотонности исходной функции), которые мы определим по данному графику $y = f(x)$.

Из графика считываем следующую информацию:

1. Точки, в которых функция равна нулю (пересечение с осью Ox): $f(x)=0$ при $x=0$ и $x=4$.

2. Точка экстремума (вершина параболы), в которой производная равна нулю: $f'(x)=0$ при $x=2$.

Эти три точки ($x=0$, $x=2$, $x=4$) разбивают числовую ось на четыре промежутка. Проанализируем знаки $f(x)$ и $f'(x)$ на каждом из них.

Промежутки возрастания

Функция $y=(f(x))^2$ возрастает там, где её производная $y' = 2f(x)f'(x) > 0$. Это происходит, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют одинаковые знаки (оба положительны или оба отрицательны).

1. Промежуток $(0, 2)$: график $f(x)$ находится ниже оси Ox, следовательно $f(x) < 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает, следовательно $f'(x) < 0$. Так как оба множителя отрицательны, их произведение $f(x)f'(x) > 0$, значит $y' > 0$.

2. Промежуток $(4, +\infty)$: график $f(x)$ находится выше оси Ox, следовательно $f(x) > 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ возрастает, следовательно $f'(x) > 0$. Так как оба множителя положительны, их произведение $f(x)f'(x) > 0$, значит $y' > 0$.

Объединяя интервалы и включая граничные точки (в которых производная равна нулю), получаем промежутки возрастания.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0, 2]$ и $[4, +\infty)$.

Промежутки убывания

Функция $y=(f(x))^2$ убывает там, где её производная $y' = 2f(x)f'(x) < 0$. Это происходит, когда $f(x)$ и $f'(x)$ имеют разные знаки.

1. Промежуток $(-\infty, 0)$: график $f(x)$ находится выше оси Ox, следовательно $f(x) > 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает, следовательно $f'(x) < 0$. Знаки множителей разные, поэтому их произведение $f(x)f'(x) < 0$, значит $y' < 0$.

2. Промежуток $(2, 4)$: график $f(x)$ находится ниже оси Ox, следовательно $f(x) < 0$. На этом промежутке функция $f(x)$ возрастает, следовательно $f'(x) > 0$. Знаки множителей разные, поэтому их произведение $f(x)f'(x) < 0$, значит $y' < 0$.

Объединяя интервалы и включая граничные точки, получаем промежутки убывания.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, 4]$.