Номер 7.20, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.20. Какой из графиков, изображенных на рисунке 7.23, является графиком функции? Для функции запишите ее точки экстремума и экстремумы.

Какой из графиков, изображенных на рисунке 7.23, является графиком функции?

Согласно определению, зависимость переменной $y$ от переменной $x$ является функцией, если каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$.

Для того чтобы определить, является ли кривая на плоскости графиком функции, используют так называемый тест с вертикальной линией. Суть теста заключается в следующем: если любая вертикальная прямая, проведенная на плоскости, пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции. Если же найдется хотя бы одна вертикальная прямая, которая пересекает график в двух или более точках, то это не график функции.

Поскольку сам рисунок 7.23 отсутствует, мы не можем указать конкретный график. Однако, применяя вышеописанный тест, можно однозначно сделать выбор из предложенных вариантов. Например, парабола с ветвями вверх или вниз является графиком функции, а окружность или парабола с ветвями влево или вправо — не является.

Ответ: Графиком функции является тот график, который любая воображаемая вертикальная прямая пересекает не более одного раза.

Для функции запишите ее точки экстремума и экстремумы.

После того как график функции был определен, можно найти его точки экстремума и экстремумы (значения функции в этих точках).

Точки экстремума — это значения аргумента $x$ (абсциссы), в которых функция достигает своего локального максимума или минимума.

Экстремумы функции — это сами локальные максимальные и минимальные значения функции $y$ (ординаты).

На графике это соответствует "вершинам" и "впадинам" кривой:

• Точка максимума ($x_{max}$) — это координата $x$ для самой высокой точки на локальном участке графика ("вершина холма"). Значение функции в этой точке, максимум ($y_{max}$), является наибольшим по сравнению со значениями в соседних точках.

• Точка минимума ($x_{min}$) — это координата $x$ для самой низкой точки на локальном участке графика ("дно впадины"). Значение функции в этой точке, минимум ($y_{min}$), является наименьшим по сравнению со значениями в соседних точках.

Допустим, на графике функции, который мы определили, есть одна "вершина" в точке с координатами $(-4, 3)$ и одна "впадина" в точке с координатами $(2, -2)$. Тогда:

• Точки экстремума: точка максимума $x_{max} = -4$ и точка минимума $x_{min} = 2$.

• Экстремумы функции: максимум функции $y_{max} = 3$ и минимум функции $y_{min} = -2$.

Ответ: Для нахождения точек экстремума и экстремумов необходимо визуально определить на графике функции все локальные "вершины" и "впадины". Абсциссы ($x$) этих точек являются точками экстремума, а соответствующие им ординаты ($y$) — экстремумами функции.