Номер 7.25, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.25.1) $y = \frac{5 - 3x}{x + 2}$;

2) $y = \frac{3 - 2x}{x - 2}$.

1) Проведем полное исследование функции $y = \frac{5 - 3x}{x + 2}$.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:

$y(0) = \frac{5 - 3 \cdot 0}{0 + 2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2.5)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, приравняем $y$ к нулю:

$\frac{5 - 3x}{x + 2} = 0 \implies 5 - 3x = 0 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}$.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{5}{3}; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{5 - 3(-x)}{-x + 2} = \frac{5 + 3x}{2 - x}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва. В данном случае это $x=-2$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to -2^-} \frac{5 - 3x}{x + 2} = \frac{5 - 3(-2)}{-2^- + 2} = \frac{11}{0^-} = -\infty$.

$\lim_{x \to -2^+} \frac{5 - 3x}{x + 2} = \frac{5 - 3(-2)}{-2^+ + 2} = \frac{11}{0^+} = +\infty$.

Следовательно, прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты найдем, вычислив пределы при $x \to \pm\infty$:

$y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5 - 3x}{x + 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(\frac{5}{x} - 3)}{x(1 + \frac{2}{x})} = \frac{-3}{1} = -3$.

Следовательно, прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = (\frac{5 - 3x}{x + 2})' = \frac{(5-3x)'(x+2) - (5-3x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{-3(x+2) - (5-3x)(1)}{(x+2)^2} = \frac{-3x - 6 - 5 + 3x}{(x+2)^2} = \frac{-11}{(x+2)^2}$.

Поскольку знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен в области определения, а числитель $-11$ отрицателен, то $y' < 0$ для всех $x \in D(y)$.

Это означает, что функция убывает на всем протяжении своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Так как производная нигде не обращается в ноль, у функции нет точек экстремума.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = (\frac{-11}{(x+2)^2})' = (-11(x+2)^{-2})' = -11 \cdot (-2)(x+2)^{-3} \cdot (x+2)' = \frac{22}{(x+2)^3}$.

Знак второй производной зависит от знака выражения $(x+2)^3$.

Если $x < -2$, то $x+2 < 0$, $(x+2)^3 < 0$, и $y'' < 0$. График функции выпуклый вверх на интервале $(-\infty; -2)$.

Если $x > -2$, то $x+2 > 0$, $(x+2)^3 > 0$, и $y'' > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(-2; +\infty)$.

Поскольку вторая производная нигде не равна нулю, точек перегиба у графика нет.

Ответ: Функция $y = \frac{5 - 3x}{x + 2}$ определена на $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=-3$. Точки пересечения с осями: $(0; 2.5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$. Функция монотонно убывает на всей области определения. График выпуклый вверх при $x \in (-\infty; -2)$ и вогнутый (выпуклый вниз) при $x \in (-2; +\infty)$.

2) Проведем полное исследование функции $y = \frac{3 - 2x}{x - 2}$.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:

$y(0) = \frac{3 - 2 \cdot 0}{0 - 2} = \frac{3}{-2} = -1.5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1.5)$.

Для нахождения точек пересечения с осью Ox, приравняем $y$ к нулю:

$\frac{3 - 2x}{x - 2} = 0 \implies 3 - 2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{3}{2}; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{3 - 2(-x)}{-x - 2} = \frac{3 + 2x}{-x - 2} = -\frac{3 + 2x}{x + 2}$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты графика.

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва. В данном случае это $x=2$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 2^-} \frac{3 - 2x}{x - 2} = \frac{3 - 2(2)}{2^- - 2} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$.

$\lim_{x \to 2^+} \frac{3 - 2x}{x - 2} = \frac{3 - 2(2)}{2^+ - 2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$.

Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты найдем, вычислив пределы при $x \to \pm\infty$:

$y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3 - 2x}{x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(\frac{3}{x} - 2)}{x(1 - \frac{2}{x})} = \frac{-2}{1} = -2$.

Следовательно, прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции:

$y' = (\frac{3 - 2x}{x - 2})' = \frac{(3-2x)'(x-2) - (3-2x)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{-2(x-2) - (3-2x)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-2x + 4 - 3 + 2x}{(x-2)^2} = \frac{1}{(x-2)^2}$.

Поскольку знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен в области определения, а числитель $1$ положителен, то $y' > 0$ для всех $x \in D(y)$.

Это означает, что функция возрастает на всем протяжении своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как производная нигде не обращается в ноль, у функции нет точек экстремума.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = (\frac{1}{(x-2)^2})' = ((x-2)^{-2})' = -2(x-2)^{-3} \cdot (x-2)' = \frac{-2}{(x-2)^3}$.

Знак второй производной зависит от знака выражения $(x-2)^3$.

Если $x < 2$, то $x-2 < 0$, $(x-2)^3 < 0$, и $y'' = \frac{-2}{\text{отриц.}} > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз) на интервале $(-\infty; 2)$.

Если $x > 2$, то $x-2 > 0$, $(x-2)^3 > 0$, и $y'' = \frac{-2}{\text{полож.}} < 0$. График функции выпуклый вверх на интервале $(2; +\infty)$.

Поскольку вторая производная нигде не равна нулю, точек перегиба у графика нет.

Ответ: Функция $y = \frac{3 - 2x}{x - 2}$ определена на $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=-2$. Точки пересечения с осями: $(0; -1.5)$ и $(\frac{3}{2}; 0)$. Функция монотонно возрастает на всей области определения. График вогнутый (выпуклый вниз) при $x \in (-\infty; 2)$ и выпуклый вверх при $x \in (2; +\infty)$.