Номер 7.28, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.28. Постройте график и перечислите свойства функции:

1) $y = \begin{cases} x + 7, & \text{если } x < -2, \\ x^2 - 3, & \text{если } -2 \le x < 1, \\ \sqrt{x+4}, & \text{если } x \ge 1; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -3, \\ 5x + 14, & \text{если } -3 \le x < 0, \\ \sqrt{x+14}, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

1) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x+7, & \text{если } x < -2 \\ x^2-3, & \text{если } -2 \le x < 1 \\ \sqrt{x+4}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика:

• На интервале $(-\infty; -2)$ строим график прямой $y=x+7$. Это луч, который начинается в выколотой точке $(-2; 5)$ (значение $y$ в точке $x=-2$ равно $ -2+7=5$) и проходит, например, через точку $(-7; 0)$.

• На полуинтервале $[-2; 1)$ строим график параболы $y=x^2-3$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; -3)$. На границах промежутка имеем: закрашенную точку $(-2; 1)$, так как $y(-2)=(-2)^2-3=1$, и выколотую точку $(1; -2)$, так как $y(1)=1^2-3=-2$.

• На луче $[1; \infty)$ строим график функции $y=\sqrt{x+4}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в закрашенной точке $(1; \sqrt{5})$, так как $y(1)=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ (где $\sqrt{5} \approx 2.24$), и проходящая, например, через точку $(5; 3)$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 5) \cup [\sqrt{5}; +\infty)$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$ при $x=-7$ и $x=-\sqrt{3}$.

4. Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-7; -\sqrt{3}) \cup [1; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in (-\infty; -7) \cup (-\sqrt{3}; 1)$.

5. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $[0; +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-2; 0]$.

6. Экстремумы: точка локального минимума $(0; -3)$, $y_{min}=-3$.

7. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, за исключением точек $x=-2$ и $x=1$, в которых она имеет разрывы первого рода (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча, фрагмента параболы и ветви параболы. Функция имеет разрывы в точках $x=-2$ и $x=1$. Основные свойства функции, включая область определения и значений, нули, монотонность и экстремумы, перечислены выше.

2) Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x < -3 \\ 5x+14, & \text{если } -3 \le x < 0 \\ \sqrt{x+14}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

• На интервале $(-\infty; -3)$ строим график гиперболы $y = -6/x$. Это ветвь гиперболы во второй координатной четверти. Граничная точка $x=-3$ выколотая, $y(-3)=-6/(-3)=2$. Точка $(-3; 2)$ — выколотая. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Например, точка $(-6; 1)$ принадлежит графику.

• На полуинтервале $[-3; 0)$ строим график прямой $y=5x+14$. Это отрезок. На границах: $y(-3)=5(-3)+14=-1$, точка $(-3; -1)$ закрашенная. $y(0)=5(0)+14=14$, точка $(0; 14)$ выколотая.

• На луче $[0; \infty)$ строим график функции $y=\sqrt{x+14}$. Это ветвь параболы. Начальная точка $x=0$, $y(0)=\sqrt{0+14}=\sqrt{14}$ (где $\sqrt{14} \approx 3.74$), точка $(0; \sqrt{14})$ закрашенная. Например, точка $(2; 4)$ принадлежит графику.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=-2.8$ (из $5x+14=0$).

4. Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) при $x \in (-\infty; -3) \cup (-2.8; +\infty)$; функция отрицательна ($y<0$) при $x \in [-3; -2.8)$.

5. Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; -3)$, $[-3; 0)$ и $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы: функция имеет две точки локального минимума: $x=-3$, $y_{min}=-1$ и $x=0$, $y_{min}=\sqrt{14}$.

7. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, за исключением точек $x=-3$ и $x=0$, в которых она имеет разрывы первого рода (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей: ветви гиперболы, отрезка прямой и ветви параболы. Функция имеет разрывы в точках $x=-3$ и $x=0$. Основные свойства функции, включая область определения и значений, нули, монотонность и экстремумы, перечислены выше.