Номер 7.30, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.30. Постройте график и исследуйте на четность функцию:

1)

$y = \begin{cases} -x, \text{ если } -4 \le x < -2, \\ 6 - x^2, \text{ если } -2 \le x \le 2, \\ x, \text{ если } 2 < x \le 4; \end{cases}$

2)

$y = \begin{cases} x - 2, \text{ если } -5 \le x \le -1, \\ -4 + x^2, \text{ если } -1 < x < 1, \\ -x - 2, \text{ если } 1 \le x \le 5. \end{cases}$

1) Для построения графика заданной кусочной функции рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $-4 \le x < -2$ имеем функцию $y = -x$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x = -4$, то $y = -(-4) = 4$. Точка $(-4, 4)$ принадлежит графику.

Если $x$ стремится к $-2$ слева ($x \to -2^-$), то $y$ стремится к $-(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$ является граничной, но не включается в этот участок графика (обозначается выколотой точкой).

2. На промежутке $-2 \le x \le 2$ имеем функцию $y = 6 - x^2$. Это квадратичная функция, ее график — часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = 0$, $y = 6 - 0^2 = 6$, то есть в точке $(0, 6)$. Найдем значения функции на концах промежутка:

Если $x = -2$, то $y = 6 - (-2)^2 = 6 - 4 = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит графику.

Если $x = 2$, то $y = 6 - 2^2 = 6 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.

3. На промежутке $2 < x \le 4$ имеем функцию $y = x$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x$ стремится к $2$ справа ($x \to 2^+$), то $y$ стремится к $2$. Точка $(2, 2)$ является граничной, но не включается в этот участок графика (выколотая точка).

Если $x = 4$, то $y = 4$. Точка $(4, 4)$ принадлежит графику.

Построив все три участка на одной координатной плоскости, получим график функции. Заметим, что в точках $x = -2$ и $x = 2$ функция непрерывна.

Исследуем функцию на четность.

Область определения функции $D(y) = [-4, 4]$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения.

Пусть $x \in (2, 4]$. Тогда $-x \in [-4, -2)$. Для этих значений имеем: $y(x) = x$

$y(-x) = -(-x) = x$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Пусть $x \in [-2, 2]$. Тогда $-x$ также принадлежит этому промежутку. $y(x) = 6 - x^2$

$y(-x) = 6 - (-x)^2 = 6 - x^2$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Поскольку для любого $x \in D(y)$ выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функция является четной.

2) Для построения графика заданной кусочной функции рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $-5 \le x \le -1$ имеем функцию $y = x - 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x = -5$, то $y = -5 - 2 = -7$. Точка $(-5, -7)$ принадлежит графику.

Если $x = -1$, то $y = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1, -3)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $-1 < x < 1$ имеем функцию $y = -4 + x^2$. Это квадратичная функция, ее график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x = 0$, $y = -4 + 0^2 = -4$, то есть в точке $(0, -4)$. Найдем предельные значения на концах промежутка:

Если $x \to -1^+$, то $y \to -4 + (-1)^2 = -3$. Точка $(-1, -3)$ выколота.

Если $x \to 1^-$, то $y \to -4 + 1^2 = -3$. Точка $(1, -3)$ выколота.

3. На промежутке $1 \le x \le 5$ имеем функцию $y = -x - 2$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Найдем координаты конечных точек отрезка:

Если $x = 1$, то $y = -1 - 2 = -3$. Точка $(1, -3)$ принадлежит графику.

Если $x = 5$, то $y = -5 - 2 = -7$. Точка $(5, -7)$ принадлежит графику.

Построив все три участка на одной координатной плоскости, получим график функции. Функция является непрерывной на всей области определения, так как в точках "стыковки" $x = -1$ и $x = 1$ значения совпадают.

Исследуем функцию на четность.

Область определения функции $D(y) = [-5, 5]$. Эта область симметрична относительно нуля.

Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ для всех $x$ из области определения.

Пусть $x \in [1, 5]$. Тогда $-x \in [-5, -1]$. Для этих значений имеем: $y(x) = -x - 2$

$y(-x) = (-x) - 2 = -x - 2$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Пусть $x \in (-1, 1)$. Тогда $-x$ также принадлежит этому промежутку. $y(x) = -4 + x^2$

$y(-x) = -4 + (-x)^2 = -4 + x^2$

Таким образом, $y(x) = y(-x)$.

Поскольку для любого $x \in D(y)$ выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функция является четной.