Номер 7.26, страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = x^2 - x + 3,75;$

2) $y = -x^2 - 3x - 6,25;$

3) $y = 2x^2 - 4x - 3;$

4) $y = -3x^2 - 6x + 4.$

1) Дана функция $y = x^2 - x + 3,75$. Это квадратичная функция вида $y = ax^2+bx+c$, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы и не имеет наибольшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=3,75$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции:

$y_{наим} = y(0,5) = (0,5)^2 - 0,5 + 3,75 = 0,25 - 0,5 + 3,75 = 3,5$.

Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно возрастают.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3,5; наибольшего значения не существует.

2) Дана функция $y = -x^2 - 3x - 6,25$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы и не имеет наименьшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=-1$, $b=-3$, $c=-6,25$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-1)} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:

$y_{наиб} = y(-1,5) = -(-1,5)^2 - 3(-1,5) - 6,25 = -2,25 + 4,5 - 6,25 = 2,25 - 6,25 = -4$.

Наименьшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно убывают.

Ответ: наибольшее значение функции равно -4; наименьшего значения не существует.

3) Дана функция $y = 2x^2 - 4x - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы и не имеет наибольшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=2$, $b=-4$, $c=-3$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наименьшим значением функции:

$y_{наим} = y(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5$.

Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно возрастают.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5; наибольшего значения не существует.

4) Дана функция $y = -3x^2 - 6x + 4$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы и не имеет наименьшего значения.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.

В нашем случае $a=-3$, $b=-6$, $c=4$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:

$y_{наиб} = y(-1) = -3(-1)^2 - 6(-1) + 4 = -3(1) + 6 + 4 = -3 + 10 = 7$.

Наименьшего значения функция не имеет, так как ее значения неограниченно убывают.

Ответ: наибольшее значение функции равно 7; наименьшего значения не существует.