Номер 7.22, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите промежутки возрастания функций (7.22–7.23):

7.22. 1) $y = x^3 + x$;

1)

2) $y = x^2 + 5x$ при $x \ge -1$;

2)

3) $y = x^4 + 4$ при $x \ge 2$;

3)

4) $y = -x^4 + 6$ при $x \le -1$.

4)

Рис. 7.23

7.22. 1) Дана функция $y = x^3 + x$. Чтобы найти промежутки возрастания, найдем ее производную.

$y' = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$.

Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна, то есть $y' \ge 0$.

Рассмотрим неравенство $3x^2 + 1 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и следовательно, $3x^2 + 1 \ge 1$.

Производная функции положительна при всех значениях $x$. Значит, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

7.22. 2) Дана функция $y = x^2 + 5x$ при $x \ge -1$.

Найдем производную: $y' = (x^2 + 5x)' = 2x + 5$.

Найдем, где $y' \ge 0$:

$2x + 5 \ge 0$

$2x \ge -5$

$x \ge -2.5$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-2.5; +\infty)$.

Согласно условию задачи, мы рассматриваем функцию только при $x \ge -1$, то есть на промежутке $[-1; +\infty)$.

Найдем пересечение промежутка возрастания $[-2.5; +\infty)$ и области определения $[-1; +\infty)$. Пересечением является промежуток $[-1; +\infty)$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

7.22. 3) Дана функция $y = x^4 + 4$ при $x \ge 2$.

Найдем производную: $y' = (x^4 + 4)' = 4x^3$.

Найдем, где $y' \ge 0$:

$4x^3 \ge 0$

$x^3 \ge 0$

$x \ge 0$

Функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Согласно условию, мы рассматриваем функцию при $x \ge 2$, то есть на промежутке $[2; +\infty)$.

Пересечение промежутка возрастания $[0; +\infty)$ и области определения $[2; +\infty)$ является промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.

7.22. 4) Дана функция $y = -x^4 + 6$ при $x \le -1$.

Найдем производную: $y' = (-x^4 + 6)' = -4x^3$.

Найдем, где $y' \ge 0$:

$-4x^3 \ge 0$

$x^3 \le 0$

$x \le 0$

Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Согласно условию, мы рассматриваем функцию при $x \le -1$, то есть на промежутке $(-\infty; -1]$.

Пересечение промежутка возрастания $(-\infty; 0]$ и области определения $(-\infty; -1]$ является промежуток $(-\infty; -1]$.

Ответ: $(-\infty; -1]$.

7.23. 1) Промежуток возрастания функции соответствует участку графика, на котором он идет вверх при движении слева направо. По графику видно, что функция сначала убывает до точки локального минимума, а затем возрастает. Точка минимума имеет абсциссу (координату по оси x), которую по графику можно оценить как $x \approx -1.2$. Таким образом, функция возрастает на промежутке от $x \approx -1.2$ до $+\infty$ (поскольку правая ветвь графика уходит вверх).

Ответ: $[-1.2; +\infty)$ (приблизительно).

7.23. 2) Функция задана дискретно, в виде набора точек. Возрастание означает, что для большего значения абсциссы ($x$) значение ординаты ($y$) также больше или равно. Сравним значения $y$ для последовательных целочисленных значений $x$:

- От $x=-5$ до $x=-1$ значения $y$ последовательно увеличиваются. Это промежуток возрастания.

- От $x=-1$ до $x=2$ значения $y$ последовательно уменьшаются. Это промежуток убывания.

- От $x=2$ до $x=4$ значения $y$ последовательно увеличиваются. Это еще один промежуток возрастания.

Таким образом, функция возрастает на множествах абсцисс $\{-5, -4, -3, -2, -1\}$ и $\{2, 3, 4\}$, что соответствует целочисленным промежуткам.

Ответ: $[-5; -1]$ и $[2; 4]$.

7.23. 3) Изображенная кривая не является графиком функции $y(x)$, так как некоторым значениям $x$ (например, $x=0$) соответствует несколько значений $y$. Вероятно, следует рассмотреть участки, на которых кривая идет вверх при движении слева направо. Таких участков два:

- Участок нижней части кривой, от точки минимума $(0, -3)$ до точки пересечения с осью $x$ в $(3, 0)$. На этом участке $x$ изменяется в пределах от 0 до 3. Промежуток возрастания: $[0; 3]$.

- Участок верхней части кривой, от ее левой точки (примерно $(-2, 2)$) до точки максимума $(0, 5)$. На этом участке $x$ изменяется в пределах примерно от -2 до 0. Промежуток возрастания: $[-2; 0]$ (оценка по графику).

Ответ: $[-2; 0]$ и $[0; 3]$.

7.23. 4) Проанализируем график функции. При движении слева направо график сначала идет вверх до точки локального максимума, затем вниз до точки локального минимума, а затем снова вверх.

- Первый промежуток возрастания: от $-\infty$ до точки максимума. Координаты точки максимума по графику: $(-3, 3)$. Таким образом, функция возрастает на $(-\infty; -3]$.

- Второй промежуток возрастания: от точки минимума до $+\infty$. Координаты точки минимума по графику: $(1, -3)$. Таким образом, функция возрастает на $[1; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$.