Номер 7.17, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.17.На рисунке 7.21 построена часть графика функции $y = f(x)$. Постройте график функции на $R$, если известно, что она:

1) четная;

2) нечетная;

3) ни четная, ни нечетная.

Рис. 7.21

1) четная

По определению, четная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$).

Чтобы достроить заданный график до графика четной функции, необходимо для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике (где $x \ge 0$) построить симметричную ей точку $(-x, y)$ относительно оси $y$.

Исходный график проходит через ключевые точки: $(0, 4)$, $(3, 0)$, $(6, 3)$, $(10, 0)$.

Выполним симметричное отражение для $x > 0$:

• Точка $(3, 0)$ перейдет в точку $(-3, 0)$.
• Точка $(6, 3)$ перейдет в точку $(-6, 3)$.
• Точка $(10, 0)$ перейдет в точку $(-10, 0)$.

Ответ: График для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$ относительно оси $y$. Он будет проходить через точки $(-3, 0)$, $(-6, 3)$ и $(-10, 0)$, соединяя их отрезками, симметричными исходным.

2) нечетная

По определению, нечетная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Важное свойство нечетной функции: если $0$ входит в область определения, то $f(0)=0$. В нашем случае на исходном графике $f(0)=4$. Чтобы функция была нечетной, мы должны изменить ее значение в этой точке: $f(0)=0$.

Чтобы достроить график для $x < 0$, необходимо для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике (где $x > 0$) построить симметричную ей точку $(-x, -y)$ относительно начала координат.

Выполним симметричное отражение для ключевых точек (кроме точки $(0,4)$, которая заменяется на $(0,0)$):

• Точка $(3, 0)$ перейдет в точку $(-3, -0)$, то есть $(-3, 0)$.
• Точка $(6, 3)$ перейдет в точку $(-6, -3)$.
• Точка $(10, 0)$ перейдет в точку $(-10, -0)$, то есть $(-10, 0)$.

Ответ: Для построения графика нечетной функции необходимо изменить значение в точке $x=0$ на $f(0)=0$. Часть графика для $x < 0$ строится путем симметричного отражения части графика для $x > 0$ относительно начала координат. Ключевые точки на достроенной части: $(-3, 0)$, $(-6, -3)$, $(-10, 0)$.

3) ни четная, ни нечетная

Функция не является ни четной, ни нечетной, если ее график не симметричен ни относительно оси $y$, ни относительно начала координат. Это означает, что не выполняется ни условие $f(-x) = f(x)$, ни условие $f(-x) = -f(x)$.

Существует бесконечно много способов достроить график так, чтобы он не обладал указанными видами симметрии. Мы можем выбрать любой произвольный способ построения для $x < 0$, который не является зеркальным отражением относительно оси $y$ или центральным отражением относительно начала координат.

Например, в качестве простейшего варианта можно продолжить график для $x < 0$ в виде горизонтального луча, лежащего на оси абсцисс. То есть, зададим $f(x) = 0$ для всех $x < 0$.

В этом случае исходная часть графика для $x \ge 0$ остается без изменений, а для $x < 0$ график совпадает с отрицательной полуосью $Ox$.

Проверим, что функция не является четной или нечетной. Возьмем, к примеру, $x=6$. Имеем $f(6) = 3$. Тогда $f(-6) = 0$. Так как $f(-6) \ne f(6)$ (то есть $0 \ne 3$) и $f(-6) \ne -f(6)$ (то есть $0 \ne -3$), функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Существует бесконечное множество решений. Один из возможных вариантов: оставить исходную часть графика для $x \ge 0$ без изменений, а для $x < 0$ положить $f(x) = 0$. То есть, достроить график лучом, совпадающим с отрицательной полуосью $Ox$.