Номер 7.11, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что являются четными функции (7.11–7.13):

7.11.1) $y = 19x^2$; 2) $y = x^2 - 34$; 3) $y = x^4 - 7x^2$;

4) $y = -x^2 - x^4$; 5) $y = \frac{10}{x^2}$; 6) $y = - \frac{8}{3+x^2}$.

2)

3)

4)

Рис. 7.20

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).

2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

7.11. 1) $y = 19x^2$

Пусть $f(x) = 19x^2$.

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 19(-x)^2 = 19x^2$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, оба условия выполнены, и функция является четной.

Ответ: функция является четной.

2) $y = x^2 - 34$

Пусть $f(x) = x^2 - 34$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 34 = x^2 - 34$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

3) $y = x^4 - 7x^2$

Пусть $f(x) = x^4 - 7x^2$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^4 - 7(-x)^2 = x^4 - 7x^2$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

4) $y = -x^2 - x^4$

Пусть $f(x) = -x^2 - x^4$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -(-x)^2 - (-x)^4 = -x^2 - x^4$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

5) $y = \frac{10}{x^2}$

Пусть $f(x) = \frac{10}{x^2}$.

1. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{10}{(-x)^2} = \frac{10}{x^2}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

6) $y = -\frac{8}{3 + x^2}$

Пусть $f(x) = -\frac{8}{3 + x^2}$.

1. Знаменатель дроби $3 + x^2$ никогда не обращается в ноль, поскольку $x^2 \ge 0$, а значит $3 + x^2 \ge 3$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, и она симметрична.

2. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -\frac{8}{3 + (-x)^2} = -\frac{8}{3 + x^2}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.