Номер 7.14, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что являются нечетными функции (7.14–7.16):

7.14.1) 1) $y = 23x;$ 2) $y = 5x^3;$ 3) $y = -9x^3;$

4) $y = -x^3 + 2x;$ 5) $y = \frac{7}{x} + x;$ 6) $y = -\frac{16}{x} - x.$

Для доказательства того, что функция является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) Дана функция $y = 23x$. Обозначим ее как $f(x) = 23x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 23(-x) = -23x$.

Теперь найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(23x) = -23x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

2) Дана функция $y = 5x^3$. Обозначим ее как $f(x) = 5x^3$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 5(-x)^3 = 5(-x^3) = -5x^3$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(5x^3) = -5x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

3) Дана функция $y = -9x^3$. Обозначим ее как $f(x) = -9x^3$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -9(-x)^3 = -9(-x^3) = 9x^3$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-9x^3) = 9x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

4) Дана функция $y = -x^3 + 2x$. Обозначим ее как $f(x) = -x^3 + 2x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x) = -(-x^3) - 2x = x^3 - 2x$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-x^3 + 2x) = x^3 - 2x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

5) Дана функция $y = \frac{7}{x} + x$. Обозначим ее как $f(x) = \frac{7}{x} + x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = \frac{7}{-x} + (-x) = -\frac{7}{x} - x$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{7}{x} + x) = -\frac{7}{x} - x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.

6) Дана функция $y = -\frac{16}{x} - x$. Обозначим ее как $f(x) = -\frac{16}{x} - x$.

Область определения $D(f)$ — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -\frac{16}{-x} - (-x) = \frac{16}{x} + x$.

Найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-\frac{16}{x} - x) = \frac{16}{x} + x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: Доказано.