Номер 7.12, страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.12.1) $y = \sqrt{x^2 + 1} - 15;$

2) $y = \sqrt{x^4 - 6} + 22;$

3) $y = |x| + 54;$

4) $y = 31 - |x|.$

1) Для функции $y = \sqrt{x^2 + 1} - 15$ найдем ее область значений. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение под корнем $x^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1: $x^2 + 1 \ge 1$. Так как функция квадратного корня является возрастающей, то $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1}$, что означает $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$. Теперь рассмотрим всю функцию. Вычитая 15 из обеих частей неравенства, получаем $y = \sqrt{x^2 + 1} - 15 \ge 1 - 15$, то есть $y \ge -14$. Наименьшее значение, равное -14, функция принимает при $x=0$. При неограниченном увеличении $|x|$, значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это промежуток от -14, включая -14, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [-14; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt{x^4 - 6} + 22$ найдем ее область значений. В первую очередь, определим область допустимых значений переменной $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^4 - 6 \ge 0$, откуда $x^4 \ge 6$. Это условие определяет область определения функции. Наименьшее значение подкоренного выражения $x^4 - 6$ равно 0, и оно достигается, когда $x^4 = 6$. Следовательно, наименьшее значение радикала $\sqrt{x^4 - 6}$ равно $\sqrt{0} = 0$. Тогда наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 22 = 22$. При увеличении $|x|$ от значения $\sqrt[4]{6}$, значение $x^4$ неограниченно возрастает, а значит и значение $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 22.

Ответ: $E(y) = [22; +\infty)$.

3) Для функции $y = |x| + 54$ найдем ее область значений. По определению модуля, $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Наименьшее значение $|x|$ равно 0 и достигается при $x=0$. Поскольку к $|x|$ прибавляется константа 54, мы можем прибавить 54 к обеим частям неравенства $|x| \ge 0$, получая $|x| + 54 \ge 54$. Таким образом, $y \ge 54$. Наименьшее значение функции, равное 54, достигается при $x=0$. При увеличении $|x|$, значение $y$ неограниченно возрастает. Следовательно, область значений функции — это промежуток от 54, включая 54, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [54; +\infty)$.

4) Для функции $y = 31 - |x|$ найдем ее область значений. Значение $|x|$ всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$. Если умножить обе части этого неравенства на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-|x| \le 0$. Теперь прибавим 31 к обеим частям: $31 - |x| \le 31$. Таким образом, $y \le 31$. Наибольшее значение функции, равное 31, достигается, когда $|x|$ принимает свое наименьшее значение, то есть при $x=0$. При увеличении $|x|$, значение $-|x|$ неограниченно уменьшается (стремится к $-\infty$), а значит и значение $y$ также неограниченно уменьшается. Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 31.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 31]$.