Номер 7.5, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.5.1) $y = x^2 - 9$ при $x \le -2$;

2) $y = -x^2 + 4$ при $x \ge 3$;

3) $y = \frac{5}{x}$ при $x \ge 5$;

4) $y = \frac{2}{x}$ при $x \le -4$.

7.5.1) 1)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 9$ на промежутке $x \le -2$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -9)$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $y = x^2$ является убывающей. Заданный промежуток $x \in (-\infty, -2]$ является частью промежутка $(-\infty, 0]$, следовательно, на нем функция $y = x^2 - 9$ также является убывающей.

Поскольку функция убывает, свое наименьшее значение на этом промежутке она примет на его правой границе, то есть при $x = -2$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(-2) = (-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, $x^2$ стремится к $+\infty$, и, соответственно, значение $y$ также стремится к $+\infty$.

Таким образом, функция принимает все значения от $-5$ включительно и больше.

Ответ: $y \in [-5, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 4$ на промежутке $x \ge 3$.

График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 4)$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = -x^2$ является убывающей. Заданный промежуток $x \in [3, +\infty)$ является частью промежутка $[0, +\infty]$, следовательно, на нем функция $y = -x^2 + 4$ также является убывающей.

Поскольку функция убывает, свое наибольшее значение на этом промежутке она примет на его левой границе, то есть при $x = 3$.

Найдем значение функции в этой точке: $y(3) = -(3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5$.

Когда $x$ стремится к $+\infty$, $-x^2$ стремится к $-\infty$, и, соответственно, значение $y$ также стремится к $-\infty$.

Таким образом, функция принимает все значения от $-5$ включительно и меньше.

Ответ: $y \in (-\infty, -5]$.

3) Рассмотрим функцию $y = \frac{5}{x}$ на промежутке $x > 5$.

График этой функции — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. На промежутке $(0, +\infty)$ эта функция является убывающей.

Заданный промежуток $x \in (5, +\infty)$ является частью промежутка $(0, +\infty)$, следовательно, на нем функция также убывает. Это означает, что с ростом $x$ значение $y$ уменьшается.

Найдем предельные значения функции на границах этого промежутка. Когда $x$ стремится к 5 (справа), значение $y$ стремится к $\frac{5}{5} = 1$. Поскольку точка $x=5$ не входит в область определения, значение $y=1$ не достигается.

Когда $x$ стремится к $+\infty$, значение дроби $y = \frac{5}{x}$ стремится к 0.

Так как функция на промежутке $(5, +\infty)$ непрерывна и строго убывает, она принимает все значения между ее предельными значениями, то есть между 0 и 1, не включая концы.

Ответ: $y \in (0, 1)$.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{x}$ на промежутке $x \le -4$.

График этой функции — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. На промежутке $(-\infty, 0)$ эта функция является убывающей.

Заданный промежуток $x \in (-\infty, -4]$ является частью промежутка $(-\infty, 0)$, следовательно, на нем функция также убывает. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$.

Наименьшее значение функция будет принимать в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -4$. Вычислим это значение: $y(-4) = \frac{2}{-4} = -0.5$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значение дроби $y = \frac{2}{x}$ стремится к 0 (оставаясь отрицательным). Таким образом, 0 является верхней границей для значений $y$, но это значение не достигается.

Следовательно, функция принимает все значения от $-0.5$ включительно до 0 не включительно.

Ответ: $y \in [-0.5, 0)$.