Номер 7.1, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.1. На рисунке 7.19 изображен график функции $y = f(x)$. Используя график данной функции, перечислите ее свойства.

Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что возрастают функции (7.2—7.3):

Рис. 7.19

Свойства функции y = f(x) на основе предоставленного графика:

1. Область определения функции

Это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. График функции построен на отрезке от -4 до 4, включая концы отрезка.

Ответ: $D(f) = [-4; 4]$.

2. Область значений функции

Это множество всех значений, которые принимает функция $y$. Наименьшее значение, достигаемое функцией, равно -2, а наибольшее равно 3.

Ответ: $E(f) = [-2; 3]$.

3. Нули функции

Это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). График пересекает ось абсцисс в трех точках.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x=0$, $x \approx -3.5$ и $x \approx 3.2$.

4. Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-3.5; 0) \cup (3.2; 4]$.

Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in [-4; -3.5) \cup (0; 3.2)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3.5; 0) \cup (3.2; 4]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4; -3.5) \cup (0; 3.2)$ (значения -3.5 и 3.2 являются приблизительными).

5. Промежутки монотонности

Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.

Функция возрастает, когда ее график идет вверх (слева направо), на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$.

Функция убывает, когда ее график идет вниз, на промежутке $[-2; 2]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$; убывает на промежутке $[-2; 2]$.

6. Точки экстремума и экстремумы функции

Точка максимума — это точка, в которой возрастание сменяется убыванием. Точка минимума — где убывание сменяется возрастанием.

Точка максимума: $x_{max} = -2$. Максимум функции: $y_{max} = f(-2) = 3$.

Точка минимума: $x_{min} = 2$. Минимум функции: $y_{min} = f(2) = -2$.

Ответ: Точка максимума $x_{max} = -2$, максимум $y_{max} = 3$. Точка минимума $x_{min} = 2$, минимум $y_{min} = -2$.

7. Наибольшее и наименьшее значения функции

Это глобальные максимальное и минимальное значения функции на всей области определения.

Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 4]$: $\max_{[-4;4]} f(x) = f(-2) = 3$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 4]$: $\min_{[-4;4]} f(x) = f(2) = -2$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 3, наименьшее равно -2.

8. Четность функции

Функция является четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.

График не симметричен относительно оси $y$ (например, $f(-2) = 3$, а $f(2) = -2$), значит, функция не является четной.

График не симметричен относительно начала координат (например, $f(-2) = 3$, а $-f(2) = -(-2) = 2$), значит, функция не является нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Используя свойства верных числовых неравенств, докажите, что возрастают функции (7.2–7.3):

Данное предложение, вероятнее всего, является общей инструкцией для задач 7.2 и 7.3, которые не представлены на изображении. Оно формулирует задание доказать, что некоторые (другие) функции являются возрастающими.

Доказательство возрастания функции $f(x)$ на некотором промежутке по определению заключается в том, чтобы показать, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Для такого доказательства необходимо знать аналитическое задание функции (ее формулу).

Функция $y=f(x)$, график которой приведен на рисунке, не является возрастающей на всей области определения. Как было установлено выше, она возрастает только на промежутках $[-4; -2]$ и $[2; 4]$. Доказать этот факт строго, пользуясь определением, невозможно без формулы функции.

Ответ: Данное задание не может быть выполнено для функции, представленной на графике, так как она не является монотонно возрастающей на всей области определения, и ее аналитическая формула неизвестна. Это инструкция для других задач.