Объясните, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

1) Как расположен график ограниченной (ограниченной снизу; ограниченной сверху) функции $y = f(x)$ относительно некоторой прямой, параллельной оси $Ox$?

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Рис. 7.6

2) Какие из функций: $y = kx$, где $k \neq 0$; $y = x^2$; $y = -x^2$; $y = x^3$; $y = \sqrt{x}$; $y = |x|$ ограничены, ограничены снизу, ограничены сверху?

1) Понятие ограниченности функции связано с расположением ее графика относительно горизонтальных прямых (прямых, параллельных оси $Ox$, с уравнением вида $y=c$, где $c$ - константа).

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех значений $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le M$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит ниже некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Пример такой функции показан на Рис. 7.5.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех значений $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит выше некоторой горизонтальной прямой $y=m$. Пример такой функции показан на Рис. 7.6.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Геометрически это означает, что ее график целиком заключен в горизонтальной полосе между двумя прямыми $y=m$ и $y=M$. Пример такой функции показан на Рис. 7.3.

Если функция не ограничена ни сверху, ни снизу, она называется неограниченной. Пример графика такой функции показан на Рис. 7.4.

Ответ: График функции, ограниченной сверху, расположен полностью ниже некоторой прямой, параллельной оси $Ox$. График функции, ограниченной снизу, расположен полностью выше некоторой прямой, параллельной оси $Ox$. График ограниченной функции расположен полностью в полосе между двумя прямыми, параллельными оси $Ox$.

2) Проанализируем каждую из предложенных функций:

• Функция $y = kx$, где $k \neq 0$. Это линейная функция, ее область значений — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, она не ограничена ни сверху, ни снизу.

• Функция $y = x^2$. Это парабола с ветвями вверх. Ее область значений — $[0; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, функция ограничена снизу (например, числом 0). Сверху функция не ограничена.

• Функция $y = -x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Ее область значений — $(-\infty; 0]$. Поскольку $-x^2 \le 0$ для любого $x$, функция ограничена сверху (например, числом 0). Снизу функция не ограничена.

• Функция $y = x^3$. Это кубическая парабола. Ее область значений — $(-\infty; +\infty)$. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

• Функция $y = \sqrt{x}$. Область определения функции $x \ge 0$, а область значений — $[0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения, функция ограничена снизу. Сверху она не ограничена.

• Функция $y = |x|$. Область значений — $[0; +\infty)$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого $x$, функция ограничена снизу. Сверху она не ограничена.

Ответ: Ограничены снизу: $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$, $y=|x|$. Ограничена сверху: $y=-x^2$. Ограниченных (одновременно сверху и снизу) среди данных функций нет. Не ограничены ни сверху, ни снизу: $y=kx$ (при $k \neq 0$), $y=x^3$.