Номер 6.9, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.9. Используя алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$;

2) $y = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$;

3) $y = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|.$

1) Построим график функции $y = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$.

Алгоритм построения состоит из двух основных шагов: сначала построить график функции под модулем, а затем применить преобразование модуля (отразить часть графика, находящуюся под осью абсцисс, вверх).

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $g(x) = \frac{3x+1}{x-1}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для удобства построения выделим целую часть:

$g(x) = \frac{3(x-1)+3+1}{x-1} = \frac{3(x-1)}{x-1} + \frac{4}{x-1} = \frac{4}{x-1} + 3$.

Этот график можно получить из графика базовой функции $y_0 = \frac{1}{x}$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 4 раза (график $y_1 = \frac{4}{x}$).

2. Сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси OX (график $y_2 = \frac{4}{x-1}$).

3. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси OY (график $g(x) = \frac{4}{x-1} + 3$).

Асимптоты графика $g(x)$: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=3$.

Найдем точки пересечения графика $g(x)$ с осями координат:

– с осью Ox ($y=0$): $\frac{3x+1}{x-1} = 0 \implies 3x+1 = 0 \implies x = -1/3$. Точка $(-1/3, 0)$.

– с осью Oy ($x=0$): $g(0) = \frac{3(0)+1}{0-1} = -1$. Точка $(0, -1)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$.

Чтобы получить искомый график, мы должны ту часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox (где $g(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox. Часть графика, где $g(x) \ge 0$, остается без изменений. Из анализа точек пересечения и асимптот следует, что $g(x) < 0$ при $x \in (-1/3, 1)$.

В результате преобразования:

– Вертикальная асимптота $x=1$ и горизонтальная асимптота $y=3$ сохраняются.

– Точка пересечения с осью Ox $(-1/3, 0)$ становится точкой излома графика.

– Точка $(0, -1)$ отражается в точку $(0, 1)$, которая становится точкой пересечения с осью Oy.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{3x+1}{x-1}\right|$ получается из графика гиперболы $g(x) = \frac{4}{x-1} + 3$ (с асимптотами $x=1$, $y=3$) путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит на интервале $x \in (-1/3, 1)$. Ключевые точки графика: точка излома $(-1/3, 0)$, пересечение с осью Oy в точке $(0, 1)$.

2) Построим график функции $y = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$.

Действуем по тому же алгоритму: строим график функции под модулем, а затем применяем преобразование $y=|f(x)|$.

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $g(x) = \frac{2-x}{x+3}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{-x+2}{x+3} = \frac{-(x+3)+3+2}{x+3} = \frac{-(x+3)}{x+3} + \frac{5}{x+3} = \frac{5}{x+3} - 1$.

График этой функции — гипербола, полученная из $y_0 = \frac{1}{x}$ преобразованиями:

1. Растяжение вдоль оси OY в 5 раз ($y_1 = \frac{5}{x}$).

2. Сдвиг на 3 единицы влево ($y_2 = \frac{5}{x+3}$).

3. Сдвиг на 1 единицу вниз ($g(x) = \frac{5}{x+3} - 1$).

Асимптоты графика $g(x)$: вертикальная $x=-3$ и горизонтальная $y=-1$.

Точки пересечения с осями:

– с осью Ox ($y=0$): $\frac{2-x}{x+3} = 0 \implies 2-x=0 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.

– с осью Oy ($x=0$): $g(0) = \frac{2-0}{0+3} = 2/3$. Точка $(0, 2/3)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$.

Отражаем части графика $g(x)$, лежащие ниже оси Ox. Найдем, где $g(x)<0$: неравенство $\frac{2-x}{x+3} < 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

В результате преобразования:

– Вертикальная асимптота $x=-3$ сохраняется.

– Горизонтальная асимптота $y=-1$ для $g(x)$ отражается и становится горизонтальной асимптотой $y=1$ для итогового графика.

– Точка пересечения с осью Ox $(2, 0)$ становится точкой излома.

– Точка пересечения с осью Oy $(0, 2/3)$ остается на месте, так как ее ордината положительна.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{2-x}{x+3}\right|$ получается из графика гиперболы $g(x) = \frac{5}{x+3} - 1$ путем отражения ее ветвей, лежащих ниже оси Ox (при $x < -3$ и $x > 2$), относительно оси Ox. Асимптоты итогового графика: $x=-3$ и $y=1$. Ключевые точки: точка излома $(2, 0)$, пересечение с осью Oy в $(0, 2/3)$.

3) Построим график функции $y = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|$.

Используем тот же двухэтапный алгоритм.

Шаг 1: Построение графика вспомогательной функции $g(x) = \frac{3x+4}{x-2}$.

Выделим целую часть: $g(x) = \frac{3(x-2)+6+4}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-2} + \frac{10}{x-2} = \frac{10}{x-2} + 3$.

График — гипербола, полученная из $y_0 = \frac{1}{x}$ преобразованиями:

1. Растяжение вдоль оси OY в 10 раз ($y_1 = \frac{10}{x}$).

2. Сдвиг на 2 единицы вправо ($y_2 = \frac{10}{x-2}$).

3. Сдвиг на 3 единицы вверх ($g(x) = \frac{10}{x-2} + 3$).

Асимптоты графика $g(x)$: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=3$.

Точки пересечения с осями:

– с осью Ox ($y=0$): $\frac{3x+4}{x-2} = 0 \implies 3x+4=0 \implies x = -4/3$. Точка $(-4/3, 0)$.

– с осью Oy ($x=0$): $g(0) = \frac{3(0)+4}{0-2} = -2$. Точка $(0, -2)$.

Шаг 2: Построение графика $y = |g(x)| = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|$.

Отражаем часть графика $g(x)$, где $g(x) < 0$. Это происходит на интервале $x \in (-4/3, 2)$.

В результате преобразования:

– Асимптоты $x=2$ и $y=3$ сохраняются.

– Точка пересечения с осью Ox $(-4/3, 0)$ становится точкой излома.

– Точка $(0, -2)$ отражается в точку $(0, 2)$, которая является новой точкой пересечения с осью Oy.

Ответ: График функции $y = \left|\frac{3x+4}{x-2}\right|$ получается из графика гиперболы $g(x) = \frac{10}{x-2} + 3$ (с асимптотами $x=2$, $y=3$) путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит на интервале $x \in (-4/3, 2)$. Ключевые точки графика: точка излома $(-4/3, 0)$, пересечение с осью Oy в точке $(0, 2)$.