Номер 6.3, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Используя график функции $y = f(x)$ и алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции (6.3—6.4):

6.3. 1) $y = 2(x - 1)^2 - 4$; 2) $y = 3 - 2\sqrt{-x}$; 3) $y = 3\sqrt{2 - x} - 1$.

1) $y = 2(x-1)^2 - 4$

Для построения графика этой функции, мы будем использовать последовательность преобразований базового графика функции $y = f(x) = x^2$. Исходную функцию можно представить в виде $y = kf(a(x+n)) + m$.

В нашем случае, базовая функция — это парабола $f(x) = x^2$. Функция $y = 2(x-1)^2 - 4$ соответствует общей форме $y = kf(x+n)+m$, где $k=2$, $n=-1$, $m=-4$ и $a=1$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящая через точки $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 4)$, $(2, 4)$.
2. Применяем растяжение графика вдоль оси OY. Так как коэффициент $k=2$, все ординаты точек графика умножаются на 2. Получаем функцию $y_1 = 2x^2$. Вершина остается в точке $(0, 0)$, а контрольные точки становятся $(-1, 2)$, $(1, 2)$, $(-2, 8)$, $(2, 8)$.
3. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OX. Выражение $(x-1)$ означает сдвиг на 1 единицу вправо. Получаем функцию $y_2 = 2(x-1)^2$. Вершина параболы смещается из $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
4. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OY. Вычитание 4 означает сдвиг на 4 единицы вниз. Получаем искомую функцию $y = 2(x-1)^2 - 4$. Вершина параболы смещается из $(1, 0)$ в точку $(1, -4)$.

Ответ: График функции $y = 2(x-1)^2 - 4$ — это парабола, полученная из графика $y=x^2$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза, сдвига на 1 единицу вправо по оси OX и на 4 единицы вниз по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(1, -4)$, ветви направлены вверх.

2) $y = 3 - 2\sqrt{-x}$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -2\sqrt{-x} + 3$. Базовой функцией является $y = f(x) = \sqrt{x}$. Исходную функцию можно представить в виде $y = kf(ax+n) + m$.

В нашем случае, базовая функция — $f(x) = \sqrt{x}$. Функция $y = -2\sqrt{-x} + 3$ соответствует общей форме $y = kf(ax) + m$, где $k=-2$, $a=-1$ и $m=3$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$ и проходящая через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$. Область определения $x \ge 0$.
2. Применяем преобразование аргумента. Коэффициент $a=-1$ означает симметричное отражение графика относительно оси OY. Получаем функцию $y_1 = \sqrt{-x}$. График теперь расположен в левой полуплоскости, начинаясь в $(0, 0)$ и проходя через точки $(-1, 1)$, $(-4, 2)$. Область определения $x \le 0$.
3. Применяем преобразование функции. Коэффициент $k=-2$ означает растяжение графика вдоль оси OY в 2 раза и последующее симметричное отражение относительно оси OX. Получаем функцию $y_2 = -2\sqrt{-x}$. График теперь направлен влево и вниз, начинаясь в $(0, 0)$ и проходя через точки $(-1, -2)$, $(-4, -4)$.
4. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OY. Прибавление 3 означает сдвиг на 3 единицы вверх. Получаем искомую функцию $y = -2\sqrt{-x} + 3$. Начальная точка графика смещается из $(0, 0)$ в точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = 3 - 2\sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, полученная из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, растяжения в 2 раза вдоль оси OY, отражения относительно оси OX и сдвига на 3 единицы вверх. Начало графика (вершина) находится в точке $(0, 3)$, ветвь направлена влево и вниз. Область определения: $x \le 0$. Область значений: $y \le 3$.

3) $y = 3\sqrt{2-x} - 1$

Для удобства анализа преобразуем подкоренное выражение: $2-x = -(x-2)$. Тогда функция примет вид $y = 3\sqrt{-(x-2)} - 1$. Базовой функцией является $y = f(x) = \sqrt{x}$.

Исходную функцию можно представить в виде $y = kf(a(x+n)) + m$, где базовая функция $f(x)=\sqrt{x}$, а коэффициенты преобразований: $k=3$, $a=-1$, $n=-2$ и $m=-1$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Он начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. Применяем отражение относительно оси OY, так как коэффициент $a=-1$. Получаем функцию $y_1 = \sqrt{-x}$. График симметричен исходному относительно оси OY.
3. Применяем растяжение вдоль оси OY, так как коэффициент $k=3$. Все ординаты умножаются на 3. Получаем функцию $y_2 = 3\sqrt{-x}$. График начинается в $(0, 0)$ и проходит через точки $(-1, 3)$, $(-4, 6)$.
4. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OX. Выражение $(x-2)$ в аргументе означает сдвиг на 2 единицы вправо. Получаем функцию $y_3 = 3\sqrt{-(x-2)}$. Начальная точка смещается в $(2, 0)$.
5. Выполняем параллельный перенос графика вдоль оси OY. Вычитание 1 означает сдвиг на 1 единицу вниз. Получаем искомую функцию $y = 3\sqrt{-(x-2)} - 1$. Начальная точка смещается в $(2, -1)$.

Ответ: График функции $y = 3\sqrt{2-x} - 1$ — это ветвь параболы, полученная из графика $y=\sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY, растяжения в 3 раза вдоль оси OY, сдвига на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Начало графика (вершина) находится в точке $(2, -1)$, ветвь направлена влево и вверх. Область определения: $x \le 2$. Область значений: $y \ge -1$.