Номер 6.7, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.7. Используя график функции $y = \frac{1}{x}$ и алгоритм построения графика функции $y = kf(a(x + n)) + m$, постройте график функции:

1) $y = \frac{3x}{x - 2}$;

2) $y = \frac{2x + 1}{x + 3}$;

3) $y = \frac{3x - 2}{2x + 4}$.

1)Для построения графика функции $y = \frac{3x}{x-2}$ необходимо преобразовать ее к виду $y = \frac{k}{x+n} + m$, чтобы применить алгоритм построения графика на основе преобразований базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Для этого выделим целую часть дроби:

$y = \frac{3x}{x-2} = \frac{3x - 6 + 6}{x-2} = \frac{3(x-2) + 6}{x-2} = \frac{3(x-2)}{x-2} + \frac{6}{x-2} = 3 + \frac{6}{x-2}$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{6}{x-2} + 3$.

Построение графика выполняется в следующей последовательности:

1. Строим график базовой функции — гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем график $y = \frac{1}{x}$ от оси абсцисс (Ox) вдоль оси ординат (Oy) в 6 раз. Получаем график функции $y = \frac{6}{x}$.

3. Смещаем полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Получаем график функции $y = \frac{6}{x-2}$. Вертикальная асимптота смещается в точку $x=2$.

4. Смещаем полученный график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y = \frac{6}{x-2} + 3$. Горизонтальная асимптота смещается в точку $y=3$.

Ответ: График функции $y = \frac{3x}{x-2}$ получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 6 раз, сдвига на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

2)Рассмотрим функцию $y = \frac{2x+1}{x+3}$. Преобразуем ее, выделив целую часть:

$y = \frac{2x+1}{x+3} = \frac{2x+6-5}{x+3} = \frac{2(x+3)-5}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} - \frac{5}{x+3} = 2 - \frac{5}{x+3}$.

Функция приведена к виду $y = \frac{-5}{x+3} + 2$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем его от оси Ox вдоль оси Oy в 5 раз, чтобы получить график $y = \frac{5}{x}$.

3. Отображаем полученный график симметрично относительно оси Ox (зеркально отражаем), чтобы получить $y = -\frac{5}{x}$. Ветви гиперболы теперь находятся во II и IV координатных четвертях.

4. Сдвигаем полученный график на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -\frac{5}{x+3}$. Вертикальная асимптота: $x=-3$.

5. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \frac{-5}{x+3} + 2$. Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x+1}{x+3}$ получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 5 раз, симметричного отображения относительно оси Ox, сдвига на 3 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.

3)Рассмотрим функцию $y = \frac{3x-2}{2x+4}$. Преобразуем ее к стандартному виду. Сначала вынесем коэффициент при $x$ в знаменателе:

$y = \frac{3x-2}{2(x+2)}$.

Теперь выделим целую часть, представив числитель через выражение в скобках $(x+2)$:

$3x-2 = 3(x+2) - 6 - 2 = 3(x+2) - 8$.

Подставим это в нашу функцию:

$y = \frac{3(x+2) - 8}{2(x+2)} = \frac{3(x+2)}{2(x+2)} - \frac{8}{2(x+2)} = \frac{3}{2} - \frac{4}{x+2}$.

Функция имеет вид $y = \frac{-4}{x+2} + \frac{3}{2}$.

Алгоритм построения графика:

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем его от оси Ox вдоль оси Oy в 4 раза, получая $y = \frac{4}{x}$.

3. Отображаем график симметрично относительно оси Ox, получая $y = -\frac{4}{x}$.

4. Сдвигаем полученный график на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем $y = -\frac{4}{x+2}$. Вертикальная асимптота: $x=-2$.

5. Сдвигаем полученный график на $\frac{3}{2}$ (или 1.5) единицы вверх вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = \frac{-4}{x+2} + \frac{3}{2}$. Горизонтальная асимптота: $y=\frac{3}{2}$.

Ответ: График функции $y = \frac{3x-2}{2x+4}$ получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения вдоль оси Oy в 4 раза, симметричного отображения относительно оси Ox, сдвига на 2 единицы влево по оси Ox и на 1.5 единицы вверх по оси Oy.