Объясните, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Возрастающей или убывающей будет функция, если меньшему значению аргумента соответствует значение функции: 1) меньшее; 2) большее?

1) меньшее

Для ответа на этот вопрос обратимся к определению возрастающей функции. Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

В условии сказано, что меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Это означает, что если мы выберем два любых значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции так, что $x_1$ будет меньше $x_2$ (запись: $x_1 < x_2$), то значение функции в точке $x_1$ (то есть $f(x_1)$) будет меньше значения функции в точке $x_2$ (то есть $f(x_2)$). Математически это записывается как: если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Данное условие полностью совпадает с определением возрастающей функции. График такой функции при движении по оси $x$ слева направо будет "подниматься" вверх.

Например, рассмотрим функцию $f(x) = 2x$. Возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как $1 < 3$, то $x_1 < x_2$. Найдем значения функции: $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$ и $f(3) = 2 \cdot 3 = 6$. Мы видим, что $2 < 6$, то есть $f(x_1) < f(x_2)$. Меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: функция будет возрастающей.

2) большее

Теперь обратимся к определению убывающей функции. Функция $y = f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

В условии этого пункта сказано, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Это означает, что если мы выберем два любых значения аргумента $x_1$ и $x_2$ так, что $x_1 < x_2$, то значение функции в точке $x_1$ (то есть $f(x_1)$) будет больше значения функции в точке $x_2$ (то есть $f(x_2)$). Математически это записывается как: если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Данное условие полностью совпадает с определением убывающей функции. График такой функции при движении по оси $x$ слева направо будет "опускаться" вниз.

Например, рассмотрим функцию $f(x) = -2x$. Возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Так как $1 < 3$, то $x_1 < x_2$. Найдем значения функции: $f(1) = -2 \cdot 1 = -2$ и $f(3) = -2 \cdot 3 = -6$. Мы видим, что $-2 > -6$, то есть $f(x_1) > f(x_2)$. Меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Ответ: функция будет убывающей.